题目内容
【题目】已知,如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,OF⊥BC于点F,交⊙O于点E,AE与BC交于点H,点D为OE的延长线上一点,且∠ODB=∠AEC.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)求证:CE2=EHEA;
(3)若⊙O的半径为5,sinA=,求BH的长。
【答案】
(1)
证明:∵∠ODB=∠AEC,∠AEC=∠ABC,
∴∠ODB=∠ABC,
∵OF⊥BC,
∴∠BFD=90°,
∴∠ODB+∠DBF=90°,
∴∠ABC+∠DBF=90°,
即∠OBD=90°,
∴BD⊥OB,
∴BD是⊙O的切线;
(2)
证明:连接AC,如图1所示:
∵OF⊥BC,
∴,
∴∠CAE=∠ECB,
∵∠CEA=∠HEC,
∴△CEH∽△AEC,
∴,
∴CE2=EHEA;
(3)
解:连接BE,如图2所示:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∵⊙O的半径为5,sin∠BAE=,
∴AB=10,BE=ABsin∠BAE=10×=6,
∴EA===8,
∵,
∴BE=CE=6,
∵CE2=EHEA,
∴EH==,
在Rt△BEH中,BH===.
【解析】(1)由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC,再证出∠ABC+∠DBF=90°,即∠OBD=90°,即可得出BD是⊙O的切线;
(2)连接AC,由垂径定理得出 , 得出∠CAE=∠ECB,再由公共角∠CEA=∠HEC,证明△CEH∽△AEC,得出对应边成比例,即可得出结论;
(3)连接BE,由圆周角定理得出∠AEB=90°,由三角函数求出BE,再根据勾股定理求出EA,得出BE=CE=6,由(2)的结论求出EH,然后根据勾股定理求出BH即可.
此题考查了圆的综合应用,涉及知识点有圆周角定理,切线判定,垂径定理,,三角函数,相似三角形对应边成比例以及勾股定理等,做题时要综合应用以上知识点才能完整解决此题。