题目内容

【题目】如图,正方形ABCD中,对角线ACBD交于点O,折叠正方形纸片,使AD落在BC上,点A恰好与BD上的点F重合,展开后折痕DE分别交ABAC于点EG,连结GF,给出下列结论①∠AGD110.5°;②SAGDSOGD;③四边形AEFG是菱形;④BFOF;⑤如果SOGF1,那么正方形ABCD的面积是12+8,其中正确的有(  )个.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

①由四边形ABCD是正方形,可得∠GAD=∠ADO45°,又由折叠的性质,可求得∠ADG的度数,从而求得∠AGD

②证△AEG≌△FEGAGFG,由FGOG即可得;

③先计算∠AGE=∠GAD+ADG67.5°,∠AED=AGD-∠EAG=67.5°,从而得到∠AGE=∠AED,易得AE=AG,由AEFEAGFG即可得证;

④设OFa,先求得∠EFG45°,易得∠GFO45°,在RtOFG中,GFOF=a,从而可证得BFEFGFOF

⑤由SOGF1求出a2,再表示出BEAE的长,利用正方形的面积公式可得出结论.

解:∵四边形ABCD是正方形,

∴∠EAG=GAD=∠ADO45°,∠AOB=90°

由折叠的性质可得:∠ADGADO22.5°

∴∠AGD180°-∠GAD-∠ADG112.5°

故①错误;

由折叠的性质可得:AEEF,∠AEG=∠FEG

在△AEG和△FEG中,

∴△AEG≌△FEGSAS),

AGFG

∵在RtGOF中,AGFGGO

SAGDSOGD,故②错误;

∵∠AGE=∠GAD+ADG67.5°,∠AED=AGD-∠EAG=67.5°

∴∠AGE=∠AED

AEAG

又∵AEFEAGFG

AEEFGFAG

∴四边形AEFG是菱形,故③正确;

OFa

∵△AEG≌△FEG

∴∠EFG=∠EAG=45°

又∵∠EFO90°

∴∠GFO45°

∴在RtOFG中,GFOF=a

∵∠EFO90°,∠EBF45°

∴在RtEBF中,BFEFGFa,即BFOF,故④正确;

SOGF1

OF21,即a21

a22

BFEFa,且∠BFE90°

BE2a

又∵AEEFa

ABAE+BEa+2a(2+)a

则正方形ABCD的面积是(2+)2a2(6+)×212+

故⑤正确;

故选:B

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