题目内容
【题目】操作与证明：
如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．
（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；
猜想与发现：
（2）在（1）的条件下，请判断线段MD与MN的关系，得出结论；
结论：DM、MN的关系是： ；
拓展与探究：
（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C旋转180°，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）DM＝MN，DM⊥MN；（3）成立，理由见解析.
【解析】
（1）先证明△ABE≌△ADF，再利用全等三角形的性质即可证明△AEF是等腰三角形；
（2）利用三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理可证明DM=MN，再证明∠DMN=∠DAB=90°，即可解决问题；
（3）连接AE，交DM于O，交CD于G，同（2）证明方法类似，可证明DM=MN，再证明∠DOG＝∠ECG＝90°，即可得出结论.
（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°，
∵△EFC是等腰直角三角形，
∴CE＝CF，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形；
（2）解：结论：DM＝MN，DM⊥MN，
证明：∵在Rt△ADF中， M是AF的中点，
∴DM=
AF，
∵M是AF的中点，N是EF的中点，
∴MN=AE，MN∥AE，
∵AE＝AF，
∴MN＝DM，
∵∠ADF＝90°，AM＝MF，
∴MD＝MA＝MF，
∴∠MAD＝∠ADM，
∴∠DMF＝∠MAD+∠ADM＝2∠DAM，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴∠DAB=∠EAF+2∠DAM＝90°，
∵MN∥AE，
∴∠NMF＝∠EAF，
∴∠DMN=∠NMF+∠DMF＝∠EAF+2∠DAM＝∠DAB=90°，
∴DM⊥MN，
∴MN＝DM，MN⊥DM，
故答案为MN＝DM，MN⊥DM；
（3）解：结论仍然成立．
理由：如图，连接AE，设AE交DM于O，交CD于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°，
又∵BC+CE=CD+CF,即BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AF＝AE，∠AFD＝∠AEB，
∵在Rt△ADF中，M是AF的中点，
∴DM=AF，
∵M是AF的中点，N是EF的中点，
∴MN=AE，MN∥AE，
∴MN＝DM，
∵∠ADF＝90°，AM＝MF，
∴MD＝MA＝MF，
∴∠MDF＝∠MFD＝∠AEB，
∵∠DGO＝∠CGE，∠ODG＝∠CEG，
∴∠DOG＝∠ECG＝90°，
∵NM∥AE，
∴∠DOG＝∠DMN＝90°，
∴MN⊥DM，MN＝DM．
