题目内容
【题目】操作与证明:
如图1,把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起,使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合,点E、F分别在正方形的边CB、CD上,连接AF.取AF中点M,EF的中点N,连接MD、MN.
(1)连接AE,求证:△AEF是等腰三角形;
猜想与发现:
(2)在(1)的条件下,请判断线段MD与MN的关系,得出结论;
结论:DM、MN的关系是: ;
拓展与探究:
(3)如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C旋转180°,其他条件不变,则(2)中的结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)DM=MN,DM⊥MN;(3)成立,理由见解析.
【解析】
(1)先证明△ABE≌△ADF,再利用全等三角形的性质即可证明△AEF是等腰三角形;
(2)利用三角形中位线定理,直角三角形斜边中线定理可证明DM=MN,再证明∠DMN=∠DAB=90°,即可解决问题;
(3)连接AE,交DM于O,交CD于G,同(2)证明方法类似,可证明DM=MN,再证明∠DOG=∠ECG=90°,即可得出结论.
(1)证明:如图,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠ADF=90°,
∵△EFC是等腰直角三角形,
∴CE=CF,
∴BE=DF,
∴△ABE≌△ADF,
∴AE=AF,
∴△AEF是等腰三角形;
(2)解:结论:DM=MN,DM⊥MN,
证明:∵在Rt△ADF中, M是AF的中点,
∴DM=AF,
∵M是AF的中点,N是EF的中点,
∴MN=AE,MN∥AE,
∵AE=AF,
∴MN=DM,
∵∠ADF=90°,AM=MF,
∴MD=MA=MF,
∴∠MAD=∠ADM,
∴∠DMF=∠MAD+∠ADM=2∠DAM,
∵△ABE≌△ADF,
∴∠BAE=∠DAF,
∴∠DAB=∠EAF+2∠DAM=90°,
∵MN∥AE,
∴∠NMF=∠EAF,
∴∠DMN=∠NMF+∠DMF=∠EAF+2∠DAM=∠DAB=90°,
∴DM⊥MN,
∴MN=DM,MN⊥DM,
故答案为MN=DM,MN⊥DM;
(3)解:结论仍然成立.
理由:如图,连接AE,设AE交DM于O,交CD于G,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠ADF=90°,
又∵BC+CE=CD+CF,即BE=DF,
∴△ABE≌△ADF,
∴AF=AE,∠AFD=∠AEB,
∵在Rt△ADF中,M是AF的中点,
∴DM=AF,
∵M是AF的中点,N是EF的中点,
∴MN=AE,MN∥AE,
∴MN=DM,
∵∠ADF=90°,AM=MF,
∴MD=MA=MF,
∴∠MDF=∠MFD=∠AEB,
∵∠DGO=∠CGE,∠ODG=∠CEG,
∴∠DOG=∠ECG=90°,
∵NM∥AE,
∴∠DOG=∠DMN=90°,
∴MN⊥DM,MN=DM.
