题目内容

【题目】操作与证明:

如图1,把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起,使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合,点EF分别在正方形的边CBCD上,连接AF.取AF中点MEF的中点N,连接MDMN

1)连接AE,求证:△AEF是等腰三角形;

猜想与发现:

2)在(1)的条件下,请判断线段MDMN的关系,得出结论;

结论:DMMN的关系是:   

拓展与探究:

3)如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C旋转180°,其他条件不变,则(2)中的结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.

【答案】(1)证明见解析;(2)DMMNDMMN;(3)成立,理由见解析.

【解析】

1)先证明△ABE≌△ADF,再利用全等三角形的性质即可证明△AEF是等腰三角形;

2)利用三角形中位线定理,直角三角形斜边中线定理可证明DM=MN,再证明∠DMN=DAB=90°,即可解决问题;

3)连接AE,交DMO,交CDG,同(2)证明方法类似,可证明DM=MN,再证明∠DOG=∠ECG90°,即可得出结论.

1)证明:如图,

∵四边形ABCD是正方形,

ABBCCDAD,∠B=∠ADF90°

∵△EFC是等腰直角三角形,

CECF

BEDF

∴△ABE≌△ADF

AEAF

∴△AEF是等腰三角形;

2)解:结论:DMMNDMMN

证明:∵在RtADF中, MAF的中点,

DM=AF

MAF的中点,NEF的中点,

MN=AEMNAE

AEAF

MNDM

∵∠ADF90°AMMF

MDMAMF

∴∠MAD=∠ADM

∴∠DMF=∠MAD+ADM2DAM

∵△ABE≌△ADF

∴∠BAE=∠DAF

∴∠DAB=EAF+2DAM90°

MNAE

∴∠NMF=∠EAF

∴∠DMN=NMF+DMF=∠EAF+2DAM=∠DAB=90°

DMMN

MNDMMNDM

故答案为MNDMMNDM

3)解:结论仍然成立.

理由:如图,连接AE,设AEDMO,交CDG

∵四边形ABCD是正方形,

ABBCCDAD,∠B=∠ADF90°

又∵BC+CE=CD+CF,BEDF

∴△ABE≌△ADF

AFAE,∠AFD=∠AEB

∵在RtADF中,MAF的中点,

DM=AF

MAF的中点,NEF的中点,

MN=AEMNAE

MNDM

∵∠ADF90°AMMF

MDMAMF

∴∠MDF=∠MFD=∠AEB

∵∠DGO=∠CGE,∠ODG=∠CEG

∴∠DOG=∠ECG90°

NMAE

∴∠DOG=∠DMN90°

MNDMMNDM

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