Question

小明设计了一个“简易量角器”：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，CA＝30 cm，在AB边上有一系列点P1，P2，P3…P8，使得∠P₁CA＝10°，∠P₂CA＝20°，∠P₃CA＝30°，…∠P₈CA＝80°．

（1）求P₃A的长（结果保留根号）；
（2）求P₅A的长（结果精确到1 cm，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，≈1.7）；
（3）小明发现P1，P2，P3…P8这些点中，相邻两点距离都不相同，于是计划用含45°的直角三角形重新制作“简易量角器”，结果会怎样呢？请你帮他继续探究．

Answer 1

（1）10 cm（2）24cm（3）在P1，P2，P3…P8这些点中，有三对相邻点距离相等

试题分析： 
解：（1）连接P3C．

∵∠P₃CA＝∠A，∴P₃C＝P₃A．
又∵∠P₃CB＝∠BCA－∠P₃CA＝60°，且∠B＝∠BCA－∠A＝60°，
∴∠P₃CB＝∠B，∴P₃C＝P₃B，
∴P₃A＝P₃B＝AB．
在Rt△ABC中，cos∠A＝，
∴AB＝＝20 cm．
∴P₃A＝AB＝10 cm．  
（2）连接P₅C，作P₅D⊥CA，垂足为D．
由题意得，∠P₅CA＝50°，设CD＝x cm．
在Rt△P₅DC中，tan∠P₅CD＝，∴P₅D＝CD·tan∠P5CD＝1.2x．
在Rt△P₅DA中，tan∠A＝，∴DA＝＝1.2x．
∵CA＝30 cm，∴CD＋DA＝30 cm．
∴x＋1.2x＝30．∴x＝．
在Rt△P₅DA中，sin∠A＝，∴P₅A＝＝2.4x．
∴P₅A＝2.4×≈24 cm． 
（3）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°．

当P1，P2，P3…P8在斜边上时．
∵∠B＝90°－∠A＝45°，
∴∠B＝∠A，∴AC＝BC．
在△P₁CA和△P₈CB中，
∵∠P₁CA＝∠P₈CB，AC＝BC，∠A＝∠B，
∴△P₁CA≌△P₈CB．∴P₁A＝P₈B．
同理可得P₂A＝P₇B，P₃A＝P₆B，P₄A＝P₅B．
则P₁P₂＝P₈P₇，P₂P₃＝P₇P₆，P₃P₄＝P₆P₅．
在P1，P2，P3…P8这些点中，有三对相邻点距离相等．
点评：本题难度较大，主要考查学生结合三角形性质和全等三角形性质等综合探究规律。