Question

Rt△ABC中，∠BAC=90^o，AB=AC=2，以AC为一边，在ABC外部作等腰直角△ACD，则线段BD的长为           .

Answer 1

2或

试题分析：分情况讨论，①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC．分别画图，并求出BD．
①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，

∵∠DAC=90°，且AD=AC，
∴BD=BA+AD=2+2=4；
②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠DCE=45°，
又∵DE⊥CE，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE=45°，
∴，

③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，
  
∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，

又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠BCD=90°，

当BD=2，这时△ABC与△BCD为正方形，
故BD的长等于2或．
点评：本题综合性强，难度较大，是中考常见题，一般出现于选择、填空的最后一题.