Question

矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF．

（1）当A′与B重合时（如图1），EF=       ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；
（2）①观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是       时，四边形AEA′F是菱形；②在①的条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形．

Answer 1

（1）当A′与B重合时，EF=5，当折痕EF过点D时EF=，（2）①，②证明见解析

解：(1)5。
由折叠（轴对称）性质知A′D=AD=5，∠A=∠EA′D=90⁰。
在Rt△A′DC中，DC=AB=2，∴。
∴A′B=BC－A′C=5－4=1。
∵∠EA′B＋∠BEA′=∠EA′B＋∠FA′C=90⁰，∴∠BEA′=∠FA′C。
又 ∵∠B=∠C=90⁰，∴Rt△EBA′∽Rt△A′CF。∴，即
∴。
在Rt△A′EF中，。
（2）①。
②证明：由折叠（轴对称）性质知∠AEF=∠FEA′，AE=A′E，AF=A′F。
又 ∵AD∥BC，∴∠AFE=∠FEA′ 。∴∠AEF=∠AFE 。
∴AE=AF。∴AE=A′E=AF=A′F。
∴四边形AEA′F是菱形。
(1)根据折叠和矩形的性质，当A′与B重合时（如图1），EF= AD=5。根据折叠和矩形的性质，以及勾股定理求出A′B、A′F和FC的长，由Rt△EBA′∽Rt△A′CF求得，在Rt△A′EF中，由勾股定理求得EF的长。
（2）①由图3和图4可得，当时，四边形AEA′F是菱形。
②由折叠和矩形的性质，可得AE=A′E，AF=A′F。由平行和等腰三角形的性质可得AE=AF。从而AE=A′E=AF=A′F。根据菱形的判定得四边形AEA′F是菱形。