题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．
（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
，直角三角形；（2）
；（3）M1（
，
），M2（，
），M3（，
），M4（，
）．
【解析】
试题分析：（1）先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形；
（2）根据运动表示出OP=2t，CQ=10﹣t，判断出Rt△AOP≌Rt△ACQ，得到OP=CQ即可；
（3）分三种情况用平面坐标系内，两点间的距离公式计算即可．
试题解析：（1）∵直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，∴A（5，0），B（0，10），∵抛物线过原点，∴设抛物线解析式为
，∵抛物线过点B（0，10），C（8，4），∴
，∴
，∴抛物线解析式为，∵A（5，0），B（0，10），C（8，4），∴
=
=125，
=
=100，
=
=25，∴
，∴△ABC是直角三角形．
（2）如图1，当P，Q运动t秒，即OP=2t，CQ=10﹣t时，由（1）得，AC=OA，∠ACQ=∠AOP=90°，在Rt△AOP和Rt△ACQ中，∵AC=OA，PA=QA，∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，∴OP=CQ，∴2t=10﹣t，∴t=，∴当运动时间为时，PA=QA；
（3）存在，∵，∴抛物线的对称轴为x=
，∵A（5，0），B（0，10），∴AB=
设点M（，m）；
①若BM=BA时，∴
，∴m1=，m2=，∴M1（，），M2（，）；
②若AM=AB时，∴
，∴m3=，m4=，∴M3（，），M4（，）；
③若MA=MB时，∴
，∴m=5，∴M（，5），此时点M恰好是线段AB的中点，构不成三角形，舍去；
∴点M的坐标为：M1（，），M2（，），M3（，），M4（，）．
