Question

【题目】如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ=4，PE=1．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°．

∵在△ABE和△CAD中 ，

∴△ABE≌△CAD．

∴∠ABE=∠CAD．

∵∠BPQ是△ABP的一个外角，

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°．

（2）解：∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°．

又由（1）知，∠BPQ=60°，

∴∠PBQ=30°．

∴BP=2PQ=2×4=8．

∴BE=BP+PE=8+1=9．

又∵由（1）知△ABE≌△CAD，

∴AD=BE=9．

【解析】（1）由等边三角形的性质可知AB=AC，∠BAC=∠C=60°．依据SAS可证明△ABE≌△CAD，依据全等三角形的性质可得到∠ABE=∠CAD，最后结合三角形的外角的性质求解即可；（2）先求得∠PBQ=30°，然后依据含30度直角三角形的性质可求得BP=8，故此可求得BE=9，最后依据全等三角形的性质可得到AD=BE=9
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等边三角形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．