Question

锐角△ABC中，BC边的长为120cm，面积为4800cm²．两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN平行BC，以M，N分别为边向下作正方形MPQN，设正方形的边长为x，
（1）BC边上的高AD为

 

cm；
（2）若PQ恰好落在BC上，求此时x的值；
（3）当PQ在外部时，当x为何值时，正方形MPQN与△ABC重叠部分的面积恰好为1914cm²．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）利用三角形的面积公式，三角形的面积=

1

2

×底×高计算即可；
（2）根据△AMN与△ABC相似，相似三角形对应高的比等于相似比列式计算；
（3）设正方形在△ABC内的边长为a，也就是△ABC的高在正方形内的长度，然后利用同（2）的运算，计算出a的长度，再利用矩形的面积公式进行解答．

解答：解：（1）如图1，∵S_△ABC=4800cm²，
∴

1

2

BC•AD=4800，又BC=120cm，
∴AD=80cm．
故答案是：80；

（2）设AD与MN相交于点H，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴

AH

AD

=

MN

BC

，即

80-x

80

=

x

120

，
解得x=48，即当x为48cm时，PQ恰好落在BC上，

（3）如图2，设MP、NQ分别与BC相交于点E、F，
设HD=a，则AH=80-a，
由

AH

AD

=

MN

BC

，得到

80-a

80

=

x

120

，
解得a=-

2

3

x+80．
则矩形MEFN的面积=MN×HD=x（-

2

3

x+80）=1914，
解得x=87或x=33．
∵PQ在外部，
∴x＞48．
∴x=87．
即当PQ在外部时，当x为87时，正方形MPQN与△ABC重叠部分的面积恰好为1914cm²．

点评：本题主要考查了相似综合题．解题时利用了相似三角形的对应高的比等于对应边的比的性质，正方形的四条边都相等的性质，读懂题意，列出比例式是解题的关键，难度中等．