Question

如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点．
（1）请判断四边形EGFH的形状，并说明理由．
（2）连接EF与GH，猜想EF与GH有怎样的特殊关系？请证明你的猜想．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：

分析：（1）首先运用三角形中位线定理可得到FG∥AB，HE∥AB，FH∥CD，GE∥DC，从而在根据平行于同一条直线的两直线平行得到GE∥FH，GF∥EH，可得到四边形ABCD是平行四边形，再运用三角形中位线定理证明邻边相等，从而证明它是菱形．
（2）利用菱形的对角线的性质直接写出两者之间的关系即可．

解答：解：（1）证明：∵四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点，
∴FG∥AB，HE∥AB，FH∥CD，GE∥DC，
∴GE∥FH，GF∥EH（平行于同一条直线的两直线平行）；
∴四边形GFHE是平行四边形，
∵四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点，
∴FG是△ABD的中位线，GE是△BCD的中位线，
∴GF=

1

2

AB，GE=

1

2

CD，
∵AB=CD，
∴GF=GE，
∴四边形EHFG是菱形．

（2）垂直且平分；
∵连接EF与GH，猜想EF与GH有怎样的特殊关系？请证明你的猜想．
∴EF⊥GH，且互相平分．

点评：此题主要考查了三角形中位线定理和菱形的判定方法，题目比较典型，又有综合性，难度不大．