题目内容
如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠D=90°,BC=CD=6,∠ABE=45°,若AE=5,求CE的长.
考点:正方形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理
专题:
分析:过点B作BF⊥AD交DA的延长线于F,可得四边形BCDF是正方形,把△BCE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG,根据旋转的性质可得CE=FG,BE=BG,∠CBE=∠FBG,然后求出∠ABG=45°,从而得到∠ABE=∠ABG,再利用“边角边”证明△ABE和△ABG全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=AG,然后求出AF+CE=AE,设CE=x,表示出DE,再表示出AF、AD,然后在Rt△ADE中,利用勾股定理列出方程求解即可得到CE的长度.
解答:解:如图,过点B作BF⊥AD交DA的延长线于F,
∵AD∥BC,∠D=90°,BC=CD,
∴四边形BCDF是正方形,
把△BCE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG,
则CE=FG,BE=BG,∠CBE=∠FBG,
∵∠ABE=45°,
∴∠ABG=∠ABF+∠FBG=∠ABF+∠CBE=90°-∠ABE=90°-45°=45°,
∴∠ABE=∠ABG,
在△ABE和△ABG中,
,
∴△ABE≌△ABG(SAS),
∴AE=AG,
∴AF+CE=AF+FG=AG=AE,
设CE=x,则DE=6-x,AF=5-x,
∴AD=6-(5-x)=x+1,
在Rt△ADE中,AD2+DE2=AE2,
即(x+1)2+(6-x)2=52,
整理得,x2-5x+6=0,
解得x1=2,x2=3,
所以CE的长度是2或3.
∵AD∥BC,∠D=90°,BC=CD,
∴四边形BCDF是正方形,
把△BCE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG,
则CE=FG,BE=BG,∠CBE=∠FBG,
∵∠ABE=45°,
∴∠ABG=∠ABF+∠FBG=∠ABF+∠CBE=90°-∠ABE=90°-45°=45°,
∴∠ABE=∠ABG,
在△ABE和△ABG中,
|
∴△ABE≌△ABG(SAS),
∴AE=AG,
∴AF+CE=AF+FG=AG=AE,
设CE=x,则DE=6-x,AF=5-x,
∴AD=6-(5-x)=x+1,
在Rt△ADE中,AD2+DE2=AE2,
即(x+1)2+(6-x)2=52,
整理得,x2-5x+6=0,
解得x1=2,x2=3,
所以CE的长度是2或3.
点评:本题考查正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理的应用,旋转的性质,作辅助线构造出正方形和全等三角形是解题的关键,也是本题的难点.
练习册系列答案
相关题目
如图是某几何题的三视图,下列判断正确的是( )
A、几何体是圆柱体,高为2 |
B、几何体是圆锥体,高为2 |
C、几何体是圆柱体,半径为2 |
D、几何体是圆锥体,半径为2 |
八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中,经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分,则该直线l的解析式为 ( )
A、y=
| ||
B、y=
| ||
C、y=
| ||
D、y=x |