Question

【题目】数学课上,张老师出示了问题：如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF.

经过思考,小明展示了一种正确的解题思路：在AB上截取BM=BE,连接ME，则AM=EC,易证△AME≌△ECF，所以AE=EF.

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

(1)小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗?如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

(2)小华提出：如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立。你认为小华的观点正确吗?如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）正确，证明见解析；（2）正确，证明见解析.

【解析】

解：（1）正确.

证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连结ME，

∴BM=BE. ∴∠BME=45°. ∴∠AME=135°.

∵CF是外角平分线，

∴∠DCF = 45°. ∴∠ECF = 135°.

∴∠AME = ∠ECF .

∵∠AEB +∠BAE=90°，∠AEB + ∠CEF = 90°,

∴∠BAE = ∠CEF.

∴△AME ≌ △ECF（ASA).

∴AE=EF.

（2）正确.

证明：

在BA的延长线上取一点N，

使AN=CE，连接NE.

∴BN=BE.

∴∠N=∠FCE=45°.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BE . ∴∠DAE=∠BEA .

∴∠NAE=∠CEF . ∴△ANE≌△ECF（ASA).

∴AE=EF.