Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DE⊥AD交AB于E，以AE为直径作⊙O．

（1）求证：点D在⊙O上；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）若AC=6，BC=8，求△BDE的面积．

Answer 1

解：（1）证明：连接OD，

∵△ADE是直角三角形，OA=OE，∴OD=OA=OE。
∴点D在⊙O上。
（2）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD=∠DAB。
∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA。∴∠CAD=∠ODA。
∴AC∥OD。∴∠ODB=∠C=90°。
∴BC是⊙O的切线。
（3）在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，∴根据勾股定理得：AB=10。
设OD=OA=OE=x，则OB=10﹣x，
∵AC∥OD，∴△ACB∽△ODB。∴。
∴，解得：。
∴OD=，BE=10﹣2x=10﹣=。
∵，即，解得：BD=5。
过E作EH⊥BD，
∵EH∥OD，∴△BEH∽△BOD。
∴，即，解得：EH=。
∴S_△BDE=BD•EH=。

试题分析：（1）连接OD，由DO为直角三角形斜边上的中线，得到OD=OA=OE，可得出点D在圆O上。
（2）由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OD与AC平行，根据两直线平行同位角相等即可得到∠ODB为直角，即BC与OD垂直，即可确定出BC为圆O的切线。
（3）过E作EH垂直于BC，由OD与AC平行，得到△ACB与△ODB相似，设OD=OA=OE=x，表示出OB，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OD与BE的长，进而确定出BD的长，再由△BEH与△ODB相似，由相似得比例求出EH的长，△BED以BD为底，EH为高，求出面积即可。