题目内容
【题目】如图,在矩形ABCD中,点F在边BC上,且AF=AD,过点D作DE⊥AF,垂足为点E.
(1)求证:DE=AB.
(2)以D为圆心,DE为半径作圆弧交AD于点G.若BF=FC=1,试求 的长.
【答案】
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=90°,AB=BC=AD=DC,AD∥BC,
∴∠EAD=∠AFB,
∵DE⊥AF,
∴∠AED=90°,
在△ADE和△FAB中, ,
∴△ADE≌△FAB(AAS),
∴DE=AB
(2)解:连接DF,如图所示:
在△DCF和△ABF中, ,
∴△DCF≌△ABF(SAS),
∴DF=AF,
∵AF=AD,
∴DF=AF=AD,
∴△ADF是等边三角形,
∴∠DAE=60°,
∵DE⊥AF,
∴∠AED=90°,
∴∠ADE=30°,
∵△ADE≌△FAB,
∴AE=BF=1,
∴DE= AE= ,
∴ 的长= = .
【解析】(1)由矩形的性质得出∠B=∠C=90°,AB=BC=AD=DC,AD∥BC,得出∠EAD=∠AFB,由AAS证明△ADE≌△FAB,得出对应边相等即可;(2)连接DF,先证明△DCF≌△ABF,得出DF=AF,再证明△ADF是等边三角形,得出∠DAE=60°,∠ADE=30°,由AE=BF=1,根据三角函数得出DE,由弧长公式即可求出 的长.
【考点精析】掌握含30度角的直角三角形和矩形的性质是解答本题的根本,需要知道在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半;矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等.
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