Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的面积是．

求点的坐标；

求过点、、的抛物线的解析式；

在中抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

在中轴下方的抛物线上是否存在一点，过点作轴的垂线，交直线于点，线段把分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形面积比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）；（3）存在，.（4）点坐标是．

【解析】

（1）由三角形S=OB=可得点B的坐标；

（2）设抛物线的解析式为y=ax（x+2），点A在其上，求得a；

（3）存在点C、过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E、当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△AOC的周长最小，由三角形相似，得到C点坐标．

（4）设p（x，y），直线AB为y=kx+b，解得k、b，由S四BPOD=S△BPO+S△BOD，S△AOD=S△AOB-S△BOD，两面积正比可知，求出x．

解：由题意得，

∴．

设抛物线的解析式为，代入点，得，

∴，

存在点、过点作垂直于轴于点，抛物线

的对称轴交轴于点、当点位于对称轴

与线段的交点时，的周长最小，

∵，

∴，

∴，

∴．存在．如图，设，直线为，

则，

解得，

∴直线为，

，

，

，

∵，

∴，

∴，（舍去），

∴，

又∵，

∴，

∴，．

，不符合题意．

∴存在，点坐标是．