Question

【题目】已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图1所示，A点坐标为（﹣4，0），B点坐标为（6，0），点D为AC的中点，点E是抛物线在第二象限图象上一动点，经过点A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接DE，把点A沿直线DE翻折，点A的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；
（3）图2中，点E运动时，当点G恰好落在BC上时，求E点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+8经过点A（﹣4，0），B（6，0），

∴ ，

解得 ，

∴抛物线的解析式是：y=﹣ x2+ x+8

（2）解：过点D作DM⊥对称轴于点M，过点D作DF⊥x轴于点F，

令x=0代入y=﹣ x2+ x+8，

∴y=8，

∴C（0，8），

∴OC=8，

∵点D为AC的中点，DF∥OC

∴DF是△AOC的中位线，

∴FO=2，DF= OC=4，

∴D（﹣2，4），

在Rt△AOC中，

由勾股定理可知：AC= ，

∴AD= AC=2 ，

∵点A与点G关于直线DE对称，

∴DG=AD=2 ，

由（1）可知：抛物线y=﹣ x2+ x+8的对称轴为：x=1，

∴M的坐标为（1，4），

∴DM=1﹣（﹣2）=3，

当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，

设G点的坐标为（1，n），

∴MG=|4﹣n|，

在Rt△GDM中，DG2=DM2+MG2，

32+（4﹣n）2=20，解得n=4± ，

∴G点的坐标为（1，4+ ）或（1，4﹣ ）

（3）解：当点G恰好落在BC上时，

由对称性可知：AD=DG=CD，

∴A、C、G三点在以D为圆心，AD为半径的圆上，

连接AG，

由于AC是⊙D的直径，

∴∠AGC=90°，

∵点A与点G关于ED对称，

∴ED⊥AG，

∴ED∥CG，

设直线BC的解析式为：y=kx+m，

将点C（0.8）、B（6，0）代入y=kx+m，

∴

∴解得： ，

∴直线BC的解析式为：y=﹣ x+8，

∴可设直线ED的直线解析式为：y=﹣ x+d，

将D（﹣2，4）代入y=﹣ x+d，

∴4= +d，

∴d= ，

∴直线ED的解析式为：y=﹣ x+ ，

联立

解得：x=3± ，

∵E是抛物线在第二象限图象上一动点，

∴E点的坐标为（ ）

【解析】（1）把点A和点B的坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b的方程组，从而可求得a与b的值，从而可求出抛物线的解析式；
（2）过点D作DM⊥对称轴于点M，过点D作DF⊥x轴于点F，接下来，求得C、D、M的坐标，从而可求出AD、DM、DG的长度，由于点G在抛物线上，可设G（1，n），最后，再依据勾股定理列方程求解即可；
（3）当点G恰好落在BC上时，由对称性可得到AD=DG=CD，则A、C、G三点在以D为圆心，AD为半径的圆上，连接AG，依据圆周角定理可得到∠AGC=90°，于是可证明ED∥BC，然后再求出直线BC的解析式，从而可求出ED的解析式，最后，联立直线DE的解析式与抛物线的解析式即可求出点E的坐标.