题目内容

【题目】已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图1所示,A点坐标为(﹣4,0),B点坐标为(6,0),点D为AC的中点,点E是抛物线在第二象限图象上一动点,经过点A,B,C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8.

(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,连接DE,把点A沿直线DE翻折,点A的对称点为点G,当点G恰好落在抛物线的对称轴上时,求G点的坐标;
(3)图2中,点E运动时,当点G恰好落在BC上时,求E点的坐标.

【答案】
(1)解:∵抛物线y=ax2+bx+8经过点A(﹣4,0),B(6,0),

解得

∴抛物线的解析式是:y=﹣ x2+ x+8


(2)解:过点D作DM⊥对称轴于点M,过点D作DF⊥x轴于点F,

令x=0代入y=﹣ x2+ x+8,

∴y=8,

∴C(0,8),

∴OC=8,

∵点D为AC的中点,DF∥OC

∴DF是△AOC的中位线,

∴FO=2,DF= OC=4,

∴D(﹣2,4),

在Rt△AOC中,

由勾股定理可知:AC=

∴AD= AC=2

∵点A与点G关于直线DE对称,

∴DG=AD=2

由(1)可知:抛物线y=﹣ x2+ x+8的对称轴为:x=1,

∴M的坐标为(1,4),

∴DM=1﹣(﹣2)=3,

当点G恰好落在抛物线的对称轴上时,

设G点的坐标为(1,n),

∴MG=|4﹣n|,

在Rt△GDM中,DG2=DM2+MG2

32+(4﹣n)2=20,解得n=4±

∴G点的坐标为(1,4+ )或(1,4﹣


(3)解:当点G恰好落在BC上时,

由对称性可知:AD=DG=CD,

∴A、C、G三点在以D为圆心,AD为半径的圆上,

连接AG,

由于AC是⊙D的直径,

∴∠AGC=90°,

∵点A与点G关于ED对称,

∴ED⊥AG,

∴ED∥CG,

设直线BC的解析式为:y=kx+m,

将点C(0.8)、B(6,0)代入y=kx+m,

∴解得:

∴直线BC的解析式为:y=﹣ x+8,

∴可设直线ED的直线解析式为:y=﹣ x+d,

将D(﹣2,4)代入y=﹣ x+d,

∴4= +d,

∴d=

∴直线ED的解析式为:y=﹣ x+

联立

解得:x=3±

∵E是抛物线在第二象限图象上一动点,

∴E点的坐标为(


【解析】(1)把点A和点B的坐标代入抛物线的解析式,得到关于a、b的方程组,从而可求得a与b的值,从而可求出抛物线的解析式;
(2)过点D作DM⊥对称轴于点M,过点D作DF⊥x轴于点F,接下来,求得C、D、M的坐标,从而可求出AD、DM、DG的长度,由于点G在抛物线上,可设G(1,n),最后,再依据勾股定理列方程求解即可;
(3)当点G恰好落在BC上时,由对称性可得到AD=DG=CD,则A、C、G三点在以D为圆心,AD为半径的圆上,连接AG,依据圆周角定理可得到∠AGC=90°,于是可证明ED∥BC,然后再求出直线BC的解析式,从而可求出ED的解析式,最后,联立直线DE的解析式与抛物线的解析式即可求出点E的坐标.

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