题目内容

已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点P（2，3），点D是正比例函数图象上的一点，过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C和点Q，DC、DQ分别交反比例函数的图象于点F和点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比例函数的图象于点E．
（1）当点D的纵坐标为9时，求：点E、F的坐标．
（2）当点D在线段OP的延长线上运动时，试猜想AE与DF的数量关系，并证明你的猜想．
分析：（1）先利用待定系数法可求出正比例函数与反比例函数的解析式分别为y=
3
2
x，y=
6
x
；把y=9代入y=
3
2
x，得x=6，可确定D点坐标为（6，9），根据题意可得A点的纵坐标为9，点F的横坐标为6，然后把y=9代入y=
6
x
得x=
2
3
，把x=6代入y=
6
x
得y=1，则A点坐标为（
2
3
，9），F点坐标为（6，1），即得到点E的横坐标为
2
3
，x=
2
3
代入y=
3
2
x得y=1，从而可确定E点坐标为（
2
3
，1）；
（2）设D点坐标为（a，
3
2
a），与（1）一样可得A点的纵坐标为
3
2
a，点F的横坐标为a，把y=
3
2
a代入y=
6
x
得x=
4
a
，把x=a代入y=
6
x
得y=
6
a
，即可得到A点坐标为（
4
a
，
3
2
a），F点坐标为（a，
6
a
），可得DF=
3
2
a-
6
a
；而点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为
4
a
，把x=
4
a
代入y=
3
2
x得y=
6
a
，则E点坐标为（
4
a
，
6
a
），则有AE=
3
2
a-
6
a
，即可得到AE=DF．
解答：解：（1）设正比例函数与反比例函数的解析式分别为y=k1x，y=
k 2
x
，把P（2，3）分别代入得k1=
3
2
，k2=6，
∴正比例函数与反比例函数的解析式分别为y=
3
2
x，y=
6
x
，
又∵点D的纵坐标为9，
∴对于y=
3
2
x，令y=9，得9=
3
2
x，解得x=6，
∴D点坐标为（6，9），
∵DC⊥x轴，DQ⊥y轴，
∴A点的纵坐标为9，点F的横坐标为6，
∵点A与点F在反比例y=
6
x
的图象上，
∴把y=9代入y=
6
x
得x=
2
3
，把x=6代入y=
6
x
得y=1，
∴A点坐标为（
2
3
，9），F点坐标为（6，1），
又∵AB⊥x轴，
∴点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为
2
3
，
而点E在直线y=
3
2
x上，把x=
2
3
代入y=
3
2
x得y=1，
∴E点坐标为（
2
3
，1）；

（2）AE与DF相等．理由如下：
设D点坐标为（a，
3
2
a），
则A点的纵坐标为
3
2
a，点F的横坐标为a，
把y=
3
2
a代入y=
6
x
得x=
4
a
，把x=a代入y=
6
x
得y=
6
a
，
∴A点坐标为（
4
a
，
3
2
a），F点坐标为（a，
6
a
），
∴DF=
3
2
a-
6
a
；
又∵点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为
4
a
，
而点E在直线y=
3
2
x上，把x=
4
a
代入y=
3
2
x得y=
6
a
，
∴E点坐标为（
4
a
，
6
a
）
∴AE=
3
2
a-
6
a
，
∴AE=DF．
点评：本题考查了反比例函数综合题：点在图象上，点的坐标满足图象的解析式；利用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式；平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同；平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相同．
练习册系列答案
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精英家教网如图，已知正比例函数y=x与反比例函数y=
1x
的图象交于A、B两点．
（1）求出A、B两点的坐标；
（2）根据图象求使正比例函数值大于反比例函数值的x的范围．
已知正比例函数y1=x，反比例函数y2=
1
x
，由y1，y2构造一个新函数y=x+
1
x
其图象如图所示．（因其图精英家教网象似双钩，我们称之为“双钩函数”）．给出下列几个命题：
①该函数的图象是中心对称图形；
②当x＜0时，该函数在x=-1时取得最大值-2；
③y的值不可能为1；
④在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．
其中正确的命题是
 
．（请写出所有正确的命题的序号）
精英家教网如图，已知正比例函数y=ax（a≠0）的图象与反比例函致y=
kx
（k≠0）的图象的一个交点为A（-1，2-k2），另一个交点为B，且A、B关于原点O对称，D为OB的中点，过点D的线段OB的垂直平分线与x轴、y轴分别交于C、E．
（1）写出反比例函数和正比例函数的解析式；
（2）试计算△COE的面积是△ODE面积的多少倍？
已知正比例函数y1=x，反比例函数y2=
1
x
，由y1，y2构造一个新函数y=x+
1
x
，其图象如图所示．（因其图象似双钩，我们称之为“双钩函数”）．给出下列几个命题：
①该函数的图象是中心对称图形；
②当x＜0时，该函数在x=-1时取得最大值-2；
③y的值不可能为1；
④在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．
其中正确的命题是（　　）
如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），它的顶点为M，又正比例函数y=kx的图象与二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点．
（1）求该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；
（2）已知点E（2，3），且二次函数的函数值大于正比例函数值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围；
（3）当k为何值时且0＜k＜2，求四边形PCMB的面积为
93
16
．
（参考公式：已知两点D（x1，y1），E（x2，y2），则线段DE的中点坐标为(
x1+x2
2
，
y1+y2
2
)）

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