题目内容

【题目】如图,已知△ABC内接于⊙O,BC交直径AD于点E,过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G,垂足为F.连接OC.

(1)若∠G=48°,求∠ACB的度数;

(2)若AB=AE,求证:∠BAD=∠COF;

(3)(2)的条件下,连接OB,设△AOB的面积为S1,△ACF的面积为S2.若tan∠CAF=,求的值.

【答案】(1)48°(2)证明见解析(3)

【解析】

(1)连接CD,根据圆周角定理和垂直的定义可得结论;
(2)先根据等腰三角形的性质得:∠ABE=∠AEB,再证明∠BCG=∠DAC,可得 ,则所对的圆周角相等,根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论;
(3)过O作OG⊥AB于G,证明△COF≌△OAG,则OG=CF=x,AG=OF,设OF=a,则OA=OC=2x-a,根据勾股定理列方程得:(2x-a)2=x2+a2,则a=x,代入面积公式可得结论.

(1)连接CD,

∵AD是⊙O的直径,

∴∠ACD=90°,

∴∠ACB+∠BCD=90°,

∵AD⊥CG,

∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°,

∵∠BAD=∠BCD,

∴∠ACB=∠G=48°;

(2)∵AB=AE,

∴∠ABE=∠AEB,

∵∠ABC=∠G+∠BCG,∠AEB=∠ACB+∠DAC,

由(1)得:∠G=∠ACB,

∴∠BCG=∠DAC,

∵AD是⊙O的直径,AD⊥PC,

∴∠BAD=2∠DAC,

∵∠COF=2∠DAC,

∴∠BAD=∠COF;

(3)过O作OG⊥AB于G,设CF=x,

∵tan∠CAF==

∴AF=2x,

∵OC=OA,由(2)得:∠COF=∠OAG,

∵∠OFC=∠AGO=90°,

∴△COF≌△OAG,

∴OG=CF=x,AG=OF,

设OF=a,则OA=OC=2x﹣a,

Rt△COF中,CO2=CF2+OF2

∴(2x﹣a)2=x2+a2

a=x,

∴OF=AG=x,

∵OA=OB,OG⊥AB,

∴AB=2AG=x,

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