Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．
（1）若∠C=30°，求证：BE是△DEC外接圆的切线；
（2）若BE= ，BD=1，求△DEC外接圆的直径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵DE垂直平分AC，

∴∠DEC=90°，AE=CE，

∴DC为△DEC外接圆的直径，

取DC的中点O，连结OE，如图，

∵∠ABC=90°，

∴BE为Rt△ABC斜边上的中线，

∴EB=EC，

∵∠C=30°，

∴∠EBC=30°，∠EOD=2∠C=60°，

∴∠BEO=90°，

∴OE⊥BE，

而OE为⊙O的半径，

∴BE是△DEC外接圆的切线

（2）解：∵BE为Rt△ABC斜边上的中线，

∴AE=EC=BE= ，

∴AC=2 ，

∵∠ECD=∠BCA，

∴Rt△CED∽Rt△CBA，

∴ ，

而CB=CD+BD=CD+1，

∴ = ，

解得CD=2或CD=﹣3（舍去），

∴△DEC外接圆的直径为2

【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质由DE垂直平分AC得∠DEC=90°，AE=CE，利用圆周角定理得到DC为△DEC外接圆的直径；取DC的中点O，连结OE，根据直角三角形斜边上的中线性质得EB=EC，得∠C=∠EBC=30°，则∠EOD=2∠C=60°，可计算出∠BEO=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由BE为Rt△ABC斜边上的中线得到AE=EC=BE= ，易证得Rt△CED∽Rt△CBA，则 ，然后利用相似比可计算出△DEC外接圆的直径CD．
【考点精析】本题主要考查了切线的判定定理的相关知识点，需要掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能正确解答此题．