Question

已知：如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为10，OE、OF分别交AB于点E、F，OF的延长线交⊙O于点D，且AE=BF，∠EOF=60°．

（1）求证：△OEF是等边三角形；
（2）当AE=OE时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）

Answer 1

解：（1）证明：作OC⊥AB于点C，

∵OC⊥AB，∴AC=BC。
∵AE=BF，∴EC=FC。
∵OC⊥EF，∴OE=OF。
∵∠EOF=60°，∴△OEF是等边三角形。；
（2）∵在等边△OEF中，∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，∴∠A=∠AOE=30°。∴∠AOF=90°。
∵AO=10，∴。
∴。
∴。

试题分析：（1）作OC⊥AB于点C，由OC⊥AB可知AC=BC，再根据AE=BF可知EC=FC，因为OC⊥EF，所以OE=OF，再由∠EOF=60°即可得出结论。
（2）在等边△OEF中，因为∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，所以∠A=∠AOE=30°，故∠AOF=90°，再由AO=10可求出OF的长，根据S_阴影=S_扇形AOD﹣S_△AOF即可得出结论。