题目内容
【题目】如图,在中,
,点D是AB的中点,连结CD,过点B作BG⊥CE,分别交CD、CA于点E、F,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G,连结DF.给出以下五个结论:
①;②
;③点F是GE的中点;④
;⑤
,其中正确结论的个数是( )
A. B.
C.
D. 2
【答案】A
【解析】
由△AFG∽△BFC,可确定结论①正确;
由△ABG≌△BCD,△AFG≌△AFD,可确定结论②正确;
由△AFG≌△AFD可得FG=FD>FE,所以点F不是GE中点,可确定结论③错误;
由△AFG≌△AFD可得AG=AB=
BC,进而由△AFG∽△BFC确定点F为AC的三等分点,可确定结论④正确;
因为F为AC的三等分点,所以S△ABF=S△ABC,又S△BDF=
S△ABF,所以S△ABC=6S△BDF,由此确定结论⑤错误.
依题意可得BC∥AG,
∴△AFG∽△BFC,
∴=
,
又AB=BC,
∴=
,
故结论①正确;
如右图,∵∠1+∠3=90°,∠1+∠4=90°,
∴∠3=∠4.
在△ABG与△BCD中,
,
∴△ABG≌△BCD(ASA),
∴AG=BD,又BD=AD,
∴AG=AD;
在△AFG与△AFD中,
,
∴△AFG≌△AFD(SAS),
∴∠5=∠2,
又∠5+∠3=∠1+∠3=90°,
∴∠5=∠1,
∴∠1=∠2,即∠ADF=∠CDB.
故结论②正确;
∵△AFG≌△AFD,
∴FG=FD,又△FDE为直角三角形,
∴FD>FE,
∴FG>FE,即点F不是线段GE的中点.
故结论③错误;
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴AC=AB;
∵△AFG≌△AFD,∴AG=AD=AB=
BC;
∵△AFG∽△BFC,∴=
,∴FC=2AF,
∴AF=AC=
AB.
故结论④正确;
∵AF=AC,
∴S△ABF=S△ABC;又D为中点,
∴S△BDF=S△ABF,
∴S△BDF=S△ABC,即S△ABC=6S△BDF.
故结论⑤错误.
综上所述,结论①②④正确,
故选:A
