题目内容

【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点AC,与y轴相交于点BA0),且AOB∽△BOC
1)求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数y=ax2+bx+3的关系式;
2)在线段AC上是否存在点Mm0).使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点(与点B不同),且以点PCO为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

【答案】1)y= ;(2)m的值为或-1

【解析】

1)由二次函数y=ax2+bx+3的解析式,首先求出B点坐标,然后由AOB∽△BOC,根据相似三角形的对应边成比例,求出OC的长度,得出C点坐标;根据相似三角形的对应角相等得出∠OAB=OBC,从而得出∠ABC=90°;由y=ax2+bx+3图象经过点A-0),C40),运用待定系数法即可求出此二次函数的关系式;
2)如果以点PCO为顶点的三角形是等腰三角形,那么分三种情况讨论:①CP=CO;②PC=PO;③OC=OP.针对每一种情况,都应首先判断M点是否在线段AC上,然后根据相似三角形的对应边成比例求出m的值.

1)由题意,得B03),
∵△AOB∽△BOC
∴∠OAB=OBC


OC=4,∴C40);
∴∠OAB+OBA=90°
∴∠OBC+OBA=90°
∴∠ABC=90°
y=ax2+bx+3图象经过点A- 0),C40),


y=


2)①如图1,当CP=CO时,点PBM为直径的圆上,
因为BM为圆的直径,
∴∠BPM=90°
PMAB
∴△CPM∽△CBA
CMCA=CPCB
CM6.25=45
CM=5

m=4-5=-1
②如图2,当PC=PO时,点POC垂直平分线上,
PC=BC=2.5
CPM∽△CBA,得CM=
m=

③当OC=OP时,M点不在线段AC上.
综上所述,m的值为-1

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