Question

如图，两个同心圆的圆心为O，矩形ABCD的边AB为大圆的弦，边DC与小圆相切于点E，连接OE并延长交AB于点F．已知OA=4，AF=2．
    
（1）求AB的长；   
（2）求阴影部分的面积.

Answer 1

（1）4；（2）

试题分析：（1）根据切线的性质可得OE⊥DC，再结合四边形ABCD为矩形可得OF⊥AB，最后根据垂径定理即可求得结果；
（2）连接OB，则可得△OAB为等边三角形，从而得到扇形OAB的圆心角，先根据勾股定理可求得OF的长，再根据阴影部分的面积等于扇形OAB的面积减去△OAB的面积，即可得到结果.
（1）∵DC切小圆O于点E
∴OE⊥DC                  
∵四边形ABCD为矩形 
∴DC∥AB                          
∴OF⊥AB                     
∴AB=2AF=4；           
（2）连接OB

则OA=OB=AB=4
∴∠AOB=60°           
在Rt△OAF中，OF=
∴S△OAB= 
∵S扇形OAB=       
∴S阴影=S扇形OAB-S△OAB=.
点评：解答本题的关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，同时平分弦所对的弧；同时熟记扇形的面积公式