Question

【题目】定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹（满足条件的所有点所组成的图形）叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
（1）已知抛物线的焦点F（0， ），准线l： ，求抛物线的解析式；
（2）已知抛物线的解析式为：y=x2﹣n2 ， 点A（0， ）（n≠0），B（1，2﹣n2），P为抛物线上一点，求PA+PB的最小值及此时P点坐标；
（3）若（2）中抛物线的顶点为C，抛物线与x轴的两个交点分别是D、E，过C、D、E三点作⊙M，⊙M上是否存在定点N？若存在，求出N点坐标并指出这样的定点N有几个；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设抛物线上有一点（x，y），

由定义知：x2+（y﹣ ）2=|y+ |2，

解得y=ax2；

（2）

解：如图1，由（1）得抛物线y=x2的焦点为（0， ），准线为y=﹣ ，

∴y=x2﹣n2由y=x2向下平移n2个单位所得，

∴其焦点为A（0， ﹣n2），准线为y=﹣ ﹣n2，

由定义知P为抛物线上的点，则PA=PH，

∴PA+PH最短为P、B、A共线，此时P在P′处，

∵x=1，

∴y=1﹣n2＜2﹣n2，

∴点B在抛物线内，

∴BI=yB﹣yI=2﹣n2﹣（﹣ ﹣n2）= ，

∴PA+PB的最小值为 ，此时P点坐标为（1，1﹣n2）；

（3）

解：由（2）知E（|n|，0），C（0，n2），

设OQ=m（m＞0），则CQ=QE=n2﹣m，

在Rt△OQE中，由勾股定理得|n|2+m2=（n2﹣m）2，

解得m= ﹣ ，

则QC= + =QN，

∴ON=QN﹣m=1，

即点N（0，1），

故AM过定点N（0，1）．

【解析】（1）直接根据新定义即可求出抛物线的解析式；（2）首先求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，根据PA+PH最短时，P、B、A共线，据此求出PA+PB的最小值及此时P点坐标；（3）设OQ=m（m＞0），则CQ=QE=n2﹣m，在Rt△OQE中，由勾股定理得|n|2+m2=（n2﹣m）2 ， 进而求出ON是定值，据此作出判断．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的图象和二次函数的性质，需要了解二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．