题目内容
【题目】定义:我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹(满足条件的所有点所组成的图形)叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
(1)已知抛物线的焦点F(0, ),准线l:
,求抛物线的解析式;
(2)已知抛物线的解析式为:y=x2﹣n2 , 点A(0, )(n≠0),B(1,2﹣n2),P为抛物线上一点,求PA+PB的最小值及此时P点坐标;
(3)若(2)中抛物线的顶点为C,抛物线与x轴的两个交点分别是D、E,过C、D、E三点作⊙M,⊙M上是否存在定点N?若存在,求出N点坐标并指出这样的定点N有几个;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:设抛物线上有一点(x,y),
由定义知:x2+(y﹣ )2=|y+
|2,
解得y=ax2;
(2)
解:如图1,由(1)得抛物线y=x2的焦点为(0, ),准线为y=﹣
,
∴y=x2﹣n2由y=x2向下平移n2个单位所得,
∴其焦点为A(0, ﹣n2),准线为y=﹣
﹣n2,
由定义知P为抛物线上的点,则PA=PH,
∴PA+PH最短为P、B、A共线,此时P在P′处,
∵x=1,
∴y=1﹣n2<2﹣n2,
∴点B在抛物线内,
∴BI=yB﹣yI=2﹣n2﹣(﹣ ﹣n2)=
,
∴PA+PB的最小值为 ,此时P点坐标为(1,1﹣n2);
(3)
解:由(2)知E(|n|,0),C(0,n2),
设OQ=m(m>0),则CQ=QE=n2﹣m,
在Rt△OQE中,由勾股定理得|n|2+m2=(n2﹣m)2,
解得m= ﹣
,
则QC= +
=QN,
∴ON=QN﹣m=1,
即点N(0,1),
故AM过定点N(0,1).
【解析】(1)直接根据新定义即可求出抛物线的解析式;(2)首先求出抛物线的焦点坐标以及准线方程,根据PA+PH最短时,P、B、A共线,据此求出PA+PB的最小值及此时P点坐标;(3)设OQ=m(m>0),则CQ=QE=n2﹣m,在Rt△OQE中,由勾股定理得|n|2+m2=(n2﹣m)2 , 进而求出ON是定值,据此作出判断.
【考点精析】关于本题考查的二次函数的图象和二次函数的性质,需要了解二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小才能得出正确答案.
