Question

如图，在?ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠C=∠EFB．
①求证：BC•AF=BF•DE；
②若∠AED=30°，AB=，AF=3，求CE的长．

Answer 1

（1）证明：在平行四边形ABCD中，
∵∠D+∠C=180°，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED．
∵∠AFB+∠BFE=180°，∠D+∠C=180°，∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠D，
∴△ABF∽△EAD．
∴=
即：AD•AF=BF•DE
∵AD=BC
∴BC•AF=BF•DE．
（2）∵△ABF∽△EAD
∴=
∵∠AED=30°，
∴∠BAE=30°，
∵AB=，
∴BE=5，AE=10，
即：=
解得：ED=2
∴CE=3
分析：（1）求三角形相似就要得出两组对应的角相等，已知了∠BFE=∠C，根据等角的补角相等可得出∠ADE=∠AFB，根据AB∥CD可得出∠BAF=∠AED，这样就构成了两三角形相似的条件．
（2）根据△ABF∽△EAD得到=，根据∠AED=30°、AB=得到BE=5，AE=10代入即可解得：ED=2，从而得到CE=3．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得到相等的角和相等的线段．