题目内容
【题目】如图,已知二次函数的图象经过点
,与
轴分别交于点
,点
.点
是直线
上方的抛物线上一动点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接,
,并把
沿
轴翻折,得到四边形
.若四边形
为菱形,请求出此时点
的坐标;
(3)当点运动到什么位置时,四边形
的面积最大?求出此时
点的坐标和四边形
的最大面积.
【答案】(1)该二次函数的表达式为;(2)点P的坐标为(
,
);(3)P点的坐标为
,四边形ABPC的面积的最大值为
.
【解析】(1)根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)根据菱形的对角线互相平分,可得P点的纵坐标,根据函数值与自变量的对应关系,可得答案;
(3)根据面积的和差,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得m的值,根据自变量与函数值的对应关系,可得P点坐标.
【解答】(1)将点B和点C的坐标代入,
得 ,解得
,
.
∴ 该二次函数的表达式为.
(2)若四边形POP′C是菱形,则点P在线段CO的垂直平分线上;
如图,连接PP′,则PE⊥CO,垂足为E,
∵ C(0,3),
∴ E(0,),
∴ 点P的纵坐标等于.
∴ ,
解得,
(不合题意,舍去),
∴ 点P的坐标为(,
).
(3)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,
设P(m,),设直线BC的表达式为
,
则 , 解得
.
∴直线BC的表达式为 .
∴Q点的坐标为(m,),
∴.
当,
解得,
∴ AO=1,AB=4,
∴ S四边形ABPC =S△ABC+S△CPQ+S△BPQ
=
=
=.
当时,四边形ABPC的面积最大.
此时P点的坐标为,四边形ABPC的面积的最大值为
.

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