题目内容
【题目】如图,直线y=x+3与坐标轴分别交于A,B两点,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,B,顶点为C,连接CB并延长交x轴于点E,点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称.
(1)求抛物线的解析式及顶点C的坐标;
(2)求证:四边形ABCD是直角梯形.
【答案】(1)y=-x2-2x+3,顶点C的坐标为(-1,4);(2)证明见解析.
【解析】
(1)解:∵y=x+3与坐标轴分别交与A,B两点,∴A点坐标(-3,0)、B点坐标(0,3).
∵抛物线y=ax2+bx-3a经过A,B两点,
∴
解得
∴抛物线解析式为:y=-x2-2x+3.
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴顶点C的坐标为(-1,4).
(2)证明:∵B,D关于MN对称,C(-1,4),B(0,3),
∴D(-2,3).∵B(0,3),A(-3,0),∴OA=OB.
又∠AOB=90°,∴∠ABO=∠BAO=45°.
∵B,D关于MN对称,∴BD⊥MN.
又∵MN⊥x轴,∴BD∥x轴.
∴∠DBA=∠BAO=45°.
∴∠DBO=∠DBA+∠ABO=45°+45°=90°.
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把B(0,3),C(-1,4)代入得,
解得
∴y=-x+3.
当y=0时,-x+3=0,x=3,∴E(3,0).
∴OB=OE,又∵∠BOE=90°,
∴∠OEB=∠OBE=∠BAO=45°.
∴∠ABE=180°-∠BAE-∠BEA=90°.
∴∠ABC=180°-∠ABE=90°.
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=45°.
∵CM⊥BD,∴∠MCB=45°.
∵B,D关于MN对称,
∴∠CDM=∠CBD=45°,CD∥AB.
又∵AD与BC不平行,∴四边形ABCD是梯形.
∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是直角梯形.
练习册系列答案
相关题目