题目内容

【题目】如图直线yx+3与坐标轴分别交于AB两点抛物线yax2bx-3a经过点AB顶点为C连接CB并延长交x轴于点ED与点B关于抛物线的对称轴MN对称

(1)求抛物线的解析式及顶点C的坐标

(2)求证四边形ABCD是直角梯形

【答案】(1)y=-x2-2x+3,顶点C的坐标为(-1,4);(2)证明见解析.

【解析】

1)解:∵yx3与坐标轴分别交与AB两点,∴A点坐标(-30)、B点坐标(03.

抛物线yax2bx3a经过AB两点,

解得

抛物线解析式为:y=-x22x3.

∵y=-x22x3=-(x124

顶点C的坐标为(-14.

2)证明:∵BD关于MN对称,C(-14),B03),

∴D(-23.∵B03),A(-30),∴OAOB.

∠AOB90°∴∠ABO∠BAO45°.

∵BD关于MN对称,∴BD⊥MN.

∵MN⊥x轴,∴BD∥x.

∴∠DBA∠BAO45°.

∴∠DBO∠DBA∠ABO45°45°90°.

设直线BC的解析式为ykxb

B03),C(-14)代入得,

解得

∴y=-x3.

y0时,-x30x3∴E30.

∴OBOE,又∵∠BOE90°

∴∠OEB∠OBE∠BAO45°.

∴∠ABE180°∠BAE∠BEA90°.

∴∠ABC180°∠ABE90°.

∴∠CBD∠ABC∠ABD45°.

∵CM⊥BD∴∠MCB45°.

∵BD关于MN对称,

∴∠CDM∠CBD45°CD∥AB.

∵ADBC不平行,四边形ABCD是梯形.

∵∠ABC90°四边形ABCD是直角梯形.

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