Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，过BD的中点O做EF⊥BD，分别与AB、CD交于点E、F.连接DE、BF.

（1）求证：四边形BEDF是菱形；

（2）若M是AD中点，联结OM与DE交于点N，AD=OM=4，则ON的长是多少？

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）.

【解析】

（1）先证明四边形BEDF是平行四边形，当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形，根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形证明即可；

（2）根据中位线的定义与性质，得到边ON与AE的关系，在Rt△DAE中利用勾股定理列出等式，即可求出ON.

解：（1）当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形，
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEO=∠OFB，

∠EDO=∠OBF，
∵O是BD的中点

∴OB=OD

∴△EOD≌△FOB，
∴EO=FO，

又∵OB=OD

∴四边形BEDF是平行四边形
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形；

（2）∵M是AD中点，OD=OB

∴MO是△ABD的中位线

∴MO∥AB

MO=AB

∴ON是△DEB的中位线

∴ON=EB

∵AD=OM=4

∴AB=2MO=8

设ON=x,则EB=2x,AE=AB-EB=8-2x,DE=EB=2x.

在Rt△DAE中，由勾股定理得：

解得：

综上所得ON的长是.