Question

【题目】如图，抛物线经过点A（1,0），B（4,0）与轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）9；（3）存在点M的坐标为（）或（）使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形

【解析】

(1)根据抛物线经过A、B两点，带入解析式，即可求得a、b的值.

（2）根据PA=PB，要求四边形PAOC的周长最小，只要P、B、C三点在同一直线上，因此很容易计算出最小周长.

（3）首先根据△BQM为直角三角形，便可分为两种情况QM⊥BC和QM⊥BO，再结合△QBM∽△CBO，根据相似比例便可求解.

解：（1）将点A（1,0），B（4,0）代入抛物线中，得：

解得：

所以抛物线的解析式为.

（2）由（1）可知，抛物线的对称轴为直线.连接BC，交抛物线的对称轴为点P,此时四边形PAOC的周长最小，最小值为OA+OC+BC=1+3+5=9.

(3) 当QM⊥BC时，易证△QBM∽△CBO 所以 ,

又因为△CQM为等腰三角形 ，所以QM=CM.设CM=x, 则BM=5- x

所以 所以.所以QM=CM=，BM=5- x=,所以BM:CM=4:3.

过点M作NM⊥OB于N，则MN//OC, 所以 ,

即 ，所以,

所以点M的坐标为（）

当QM⊥BO时, 则MQ//OC, 所以 , 即

设QM=3t, 则BQ=4t, 又因为△CQM为等腰三角形 ，所以QM=CM=3t,BM=5-3t

又因为QM2+QB2=BM2, 所以(3t )2+(4t )2=(5-3t )2, 解得

MQ=3t=,, 所以点M的坐标为（）.

综上所述，存在点M的坐标为（）或（）使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形