Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．

（1）求作⊙O，使得点O在边AB上，且⊙O经过B、D两点（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）证明AC与⊙O相切．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）作BD的垂直平分线交AB于O，再以O点为圆心，OB为半径作圆即可；

（2）证明OD∥BC得到∠ODC=90°，然后根据切线的判定定理可判断AC为⊙O的切线．

解：（1）如图，⊙O为所作；

（2）证明：连接OD，如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠CBD=∠ODB，
∴OD∥BC，
∴∠ODA=∠ACB，
又∠ACB=90°，
∴∠ODA=90°，
即OD⊥AC，
∵点D是半径OD的外端点，
∴AC与⊙O相切．