Question

【题目】如图，圆中的弦AB与弦CD垂直于点E，点F在上， ，直线MN过点D，且∠MDC=∠DFC，求证：直线MN是该圆的切线．

Answer 1

【答案】证明见解析．

【解析】试题分析：弦AB与弦CD垂直，∠ABC=∠BCF,所以可得∠DCF=90°, ∠MDC=∠DFC，所以∠MDF=90°, 直线MN是该圆的切线．

试题解析：

设该圆的圆心为点O，在⊙O中，∵弧AC= 弧BF，

∴∠AOC=∠BOF．

又∠AOC=2∠ABC，∠BOF=2∠BCF，

∴∠ABC=∠BCF，∴AB∥CF，

∴∠DCF=∠DEB,

∵DC⊥AB，∴∠DEB=90°，

∴∠DCF=90°，

∴DF为⊙O直径,

且∠CDF+∠DFC=90°,

∵∠MDC=∠DFC，∴∠MDC+∠DFC=90°．

即 DF⊥MN,

又∵MN过点D，

∴直线MN是⊙O的切线．