题目内容
【题目】在中,,将绕点顺时针旋转至,点的对应点分别是,连接线段与线段交于点M,连接.
(1)如图1,求证:;
(2)如图1,求证:OM平分;
(3)如图2,若,求的长.
【答案】(1)见详解;(2)见详解;(3)
【解析】
(1)根据旋转的性质及OA=OB可得OA=OC=OB=OD,∠AOC=∠BOD,然后根据“SAS”证明△AOC≌△BOD即可得证;
(2)过点O作OE⊥AC,OF⊥BD,利用等积法可得OE=OF,再根据“HL”可证得Rt△MOE≌Rt△MOF即可得证;
(3)过点M作MH⊥AO,由可得∠OAC=∠ODB=45°,进而可证得△AOM≌△DOM,则∠MOD=∠MOA,利用及 可得∠MOA=60°,设OH=x,利用30°、45°的直角三角形的性质及勾股定理可表示出MO、MH、AH、AM的长,根据列出方程求解,进而可求得CM的长.
(1)证明:∵旋转,
∴OA=OC,OB=OD,∠AOC=∠BOD,
∵OA=OB,
∴OA=OC=OB=OD,
在△AOC与△BOD中,
∴△AOC≌△BOD(SAS),
∴AC=BD;
(2)证明:过点O作OE⊥AC,OF⊥BD,垂足分别为E、F,
∵△AOC≌△BOD,
∴S△AOC=S△BOD,
∵OE⊥AC,OF⊥BD,
∴,
∵AC=BD,
∴OE=OF,
∵OE⊥AC,OF⊥BD,
∴∠MEO=∠MFO=90°,
在Rt△MOE与Rt△MOF中,
∴Rt△MOE≌Rt△MOF(HL),
∴∠OME=∠OMF,
∴OM平分;
(3)解:过点M作MH⊥AO,垂足为点H,
∵,OA=OC,OB=OD,
∴∠OAC=∠ODB=45°,
在△AOM与△DOM中,
∴△AOM与△DOM(AAS),
∴∠AOM =∠DOM,
∵∠BOD=,∠AOB=30°,
∴∠AOM =∠DOM=60°,
∵MH⊥AO,
∴∠MHO=∠MHA=90°,
∴在Rt△MHO中,∠OMH=30°,
设OH=x,则MO=2OH=2x,
∴,
∴在Rt△MHA中,∠HAM=45°,
∴AH=MH=,
∴,
∵,
∴
解得:x=2,
∴,
在Rt△AOC中,,
∴,
∴CM的长为.