题目内容

【题目】中,,将绕点顺时针旋转,点的对应点分别是,连接线段与线段交于点M,连接

1)如图1,求证:

2)如图1,求证:OM平分

3)如图2,若,求的长.

【答案】1)见详解;(2)见详解;(3

【解析】

1)根据旋转的性质及OAOB可得OAOCOBOD,∠AOC=∠BOD,然后根据“SAS”证明△AOC≌△BOD即可得证;

2)过点OOEACOFBD,利用等积法可得OEOF,再根据“HL”可证得RtMOERtMOF即可得证;

3)过点MMHAO,由可得OACODB45°,进而可证得△AOM≌△DOM,则MODMOA,利用 可得MOA60°,设OHx,利用30°、45°的直角三角形的性质及勾股定理可表示出MOMHAHAM的长,根据列出方程求解,进而可求得CM的长.

1)证明:∵旋转,

OAOCOBOD,∠AOC=∠BOD

OAOB

OAOCOBOD

在△AOC与△BOD中,

∴△AOC≌△BODSAS),

ACBD

2)证明:过点OOEACOFBD,垂足分别为EF

∵△AOC≌△BOD

SAOCSBOD

OEACOFBD

ACBD

OEOF

OEACOFBD

∴∠MEO=∠MFO90°,

RtMOERtMOF中,

RtMOERtMOFHL),

∴∠OME=∠OMF

OM平分

3)解:过点MMHAO,垂足为点H

OAOCOBOD

OACODB45°

在△AOM与△DOM中,

∴△AOM与△DOMAAS),

AOM DOM

BODAOB30°

AOM DOM60°

MHAO

MHOMHA90°

∴在Rt△MHO中,OMH30°

OHx,则MO2OH2x

∴在Rt△MHA中,HAM45°

AHMH

,

解得:x2

Rt△AOC中,

CM的长为

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涓嬭浇浣滀笟绮剧伒鐩存帴鏌ョ湅鏁翠功绛旀瑙f瀽
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