题目内容

如图,直线y=x+1与y轴交于A点,与反比列函数y=(x>0)的图象交于点M,过M作MH⊥x,且tan∠AHO=
(1)求k的值;
(2)设点N(1,a)是反比例函数y=(x>0)图像上的点,在y轴上是否存在点P,使得PM+PN最小,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)6;(2)(0,5).

试题分析:(1)对于直线y=x+1,令x=0求出y的值,确定出A坐标,得到OA的长,根据tan∠AHO的值,利用锐角三角函数定义求出OH的长,根据MH垂直于x轴,得到M横坐标与A横坐标相同,再由M在直线y=x+1上,确定出M坐标,代入反比例解析式求出k的值即可;
(2)将N坐标代入反比例解析式求出a的值,确定出N坐标,过N作N关于y轴的对称点N1,连接MN1,交y轴于P(如图),此时PM+PN最小,由N与N1关于y轴的对称,根据N坐标求出N1坐标,设直线MN1的解析式为y=kx+b,把M,N1的坐标代入求出k与b的值,确定出直线MN1的解析式,令x=0求出y的值,即可确定出P坐标.
(1)由y=x+1可得A(0,1),即OA=1,
∵tan∠AHO=
∴OH=2,
∵MH⊥x轴,
∴点M的横坐标为2,
∵点M在直线y=x+1上,
∴点M的纵坐标为3,即M(2,3),
∵点M在上,
∴k=2×3=6;
(2)∵点N(1,a)在反比例函数的图象上,
∴a=6,即点N的坐标为(1,6),
过N作N关于y轴的对称点N1,连接MN1,交y轴于P(如图),

此时PM+PN最小,
∵N与N1关于y轴的对称,N点坐标为(1,6),
∴N1的坐标为(-1,6),
设直线MN1的解析式为y=kx+b,
把M,N1的坐标得

解得:

∴直线MN1的解析式为y=-x+5,
令x=0,得y=5,
∴P点坐标为(0,5).
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