题目内容
【题目】（11分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）求点C，D的坐标；
（2）若在y轴上存在点 M，连接MA，MB，使S△MAB=S平行四边形ABDC，求出点M的坐标．
（3）若点P在直线BD上运动，连接PC，PO．
①若P在线段BD之间时（不与B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范围；
②若P在直线BD上运动，请直接写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．
【答案】（1）C（0，2），D（4，2）；（2）M点的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；（3）①3＜S△CDP+S△BOP＜4；②∠DCP+∠BOP=∠CPO或∠DCP﹣∠BOP=∠CPO或∠DCP﹣∠BOP=∠CPO．
【解析】试题分析：（1）根据点的平移规律即可得点C，D的坐标；（2）由S平行四边形ABOC=ABCO即可计算出S平行四边形ABOC=8，设M坐标为（0，m），根据三角形面积公式得
×4×|m|=8，解得m=±4，所以点M的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；（3）（3）①根据题意易得S梯形OCDB=7，当点P运动到点B时，S△BOC的最小值=3，则可判断S△CDP+S△BOP＜4，当点P运动到点D时，S△BOC的最大值=4，于是可判断S△CDP+S△BOP＞3，所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；
②分三种情况，第一种情况：当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，根据平行线的性质得CD∥PE∥AB，则∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，易得∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO；第二种情况：当点P在线段BD的延长线上时，如图2，同样有∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，由于∠EPO﹣∠EPC=∠BOP﹣∠DCP，于是∠BOP﹣∠DCP=∠CPO；第三种情况，当点P在线段DB的延长线上时，同第二种情况可得，当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP﹣∠BOP=∠CPO．
试题解析：解：（1）由平移可知：C（0，2），D（4，2）；
（2）∵AB=4，CO=2，
∴S平行四边形ABOC=ABCO=4×2=8，
设M坐标为（0，m），
∴×4×|m|=8，解得m=±4
∴M点的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；
（3）①S梯形OCDB=×（3+4）×2=7，
当点P运动到点B时，S△BOC最小，S△BOC的最小值=×3×2=3，S△CDP+S△BOP＜4，
当点P运动到点D时，S△BOC最大，S△BOC的最大值=×4×2=4，S△CDP+S△BOP＞3，
所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；
②当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，
∵CD∥AB，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，
∴∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO；
当点P在线段BD的延长线上时，如图2，作PE∥CD，
∵CD∥AB，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，
∴∠EPO﹣∠EPC=∠BOP﹣∠DCP，
∴∠BOP﹣∠DCP=∠CPO；
同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP﹣∠BOP=∠CPO．
