Question

二次函数y=

2

3

x2的图象如图所示，点A₀位于坐标原点，A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₀₉在y轴的正半轴上，B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₀₉在二次函数y=

2

3

x2第一象限的图象上，若△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₀₈B₂₀₀₉A₂₀₀₉都为等边三角形，计算出△A₂₀₀₈B₂₀₀₉A₂₀₀₉的边长为______．

Answer 1

设△A₀A₁B₁的边长为m₁；
∵△A₀A₁B₁是等边三角形，
∴∠A₁A₀B₁=60°，∠B₁A₀x=30°；
故B₁（

3 m1

2

，

m1

2

）；
由于点B₁在抛物线的图象上，则有：

2

3

×（

3

2

m₁）²=

m1

2

，解得m₁=1；
同理设△A₁A₂B₂的边长为m₂；
同上可得B₂（

3 m2

2

，1+

m2

2

）；
由于点B₂也在抛物线的图象上，则有：

2

3

×（

3

2

m₂）²=

m2

2

+1，解得m₂=2；
依此类推，△A₂B₃A₃的边长为：m₃=3，
…
△A_nB_n+1A_n+1的边长为m_n+1=n+1；
∴△A₂₀₀₈B₂₀₀₉A₂₀₀₉的边长为2009．