Question

【题目】在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒 厘米的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ丄MP．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由；
（2）若∠ABC=60°，AB=4 厘米． ①求动点Q的运动速度；
②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：相似．

证明：∵MN⊥BC交AC于点N，MQ丄MP，

∴∠BMN=∠PMQ=90°，

即∠BMP+∠PMN=∠PMN+∠NMQ，

∴∠PMB=∠NMQ，

∵△ABC与△MNC中，∠C=∠C，∠A=∠NMC=90°，

∴△ABC∽△MNC，

∴∠B=∠MNC，

∴△PBM∽△QNM；

（2）解：①在直角△ABC中，∠ABC=60°，AB=4 厘米，

则BC=8 cm，AC=12cm．

由M为BC中点，得BM=CM=4 （cm），

若BP= cm．

∵在Rt△CMN中，∠CMN=90°，∠MCN=30°，

∴NC= =8cm，

∵△PBM∽△QNM，

∴ = ，

即NQ=1，

则求动点Q的运动速度是每秒钟1cm．

②AP=AB﹣BP=4 ﹣ t，

AQ=AN+NQ=AC﹣NC+NQ=12﹣8+t=4+t，

则当0＜t＜4时，△APQ的面积为：S= APAQ= （4 ﹣ t）（4+t）= ，

当t＞4时，AP= t﹣4 =（t﹣4） ．

则△APQ的面积为：S= APAQ= （ t﹣4 ）（4+t）=

【解析】（1）可以证明两个三角形中的两个角对应相等，则两个三角形一定相似；（2）①若BP= ，根据△PBM∽△QNM，求得NQ的长，即Q一分钟移动的距离，即Q的速度；分别用时间t表示出AP，AQ的长，根据直角三角形的面积即可求得函数解析式．
【考点精析】关于本题考查的勾股定理的概念和相似三角形的判定与性质，需要了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．