题目内容
【题目】平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．
发现：如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a的值即阴影部分的面积；
拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．
探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，直接写出sinα的值．
【答案】解：发现：如图2，
设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，
过点R作RE⊥KQ于点E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，
∴∠POH=30°，
∴α=60°﹣30°=30°，
∵AD∥BC，
∴∠RPO=∠POH=30°，
∴∠RKQ=2×30°=60°，
∴S扇形KRQ= 
= 
，
在Rt△RKE中，RE=RKsin60°= 
，
∴S△PRK= 
RE= 
，
∴S阴影= + ；
拓展：如图5，
∵∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，
∴△AON∽△BMN，
∴ 
，即 
，
∴BN= 
，
如图4，
当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF= 
﹣AO=2 
﹣1，
∴x的取值范围是0＜x≤2 ﹣1；
探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；
①如图5，
半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′，
则∠KSO=∠KTB=90°，
作KG⊥OO′于G，在Rt△OSK中，
OS= 
=2，
在Rt△OSO′中，SO′=OStan60°=2 
，KO′=2 ﹣ 
，
在Rt△KGO′中，∠O′=30°，
∴KG= KO′= ﹣ 
，
∴在Rt△OGK中，sinα= 
= 
= 
，
②当半圆K与AD相切于T，如图6，
同理可得sinα= 
= 
= 
= 
；
③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，
∴α=60°，
∴sinα=sin60°= 
；
综上所述sinα的值为： 或 或
【解析】首先设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E，根据直角三角形的直角边与斜边的关系得出∠POH=30° ；进而求得α的度数，根据平行线的性质及圆周角定理得出∠RKQ的度数，然后利用S阴影=S扇形KRQ+S△PRK求得答案；
拓展：如图5，由∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，得到△AON∽△BMN，根据相似三角形对应边成比例即可求得BN，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，根据勾股定理求出BQ=AF的值，则可求出x的取值范围；
探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况：①半圆K与BC相切于点T，②当半圆K与AD相切于T，③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点；分别求解即可求得答案．
