题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD为正方形,已知点A,0)、D,3),点B、C在第二象限内.

(1)点B的坐标

(2)将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移t秒,若存在某一时刻t,使在第一象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图像上,请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式;

(3)在(2)的情况下,问是否存在y轴上的点P和反比例函数图像上的点Q,使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合题意的点P、Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)B(-2,1);(2)t=4,反比例函数解析式为

(3)当B′D′为对角线时,;当B′D′为边时,

【解析】分析:(1)过点DDEx轴于点E,过点BBFx轴于点F,由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出ADE≌△BAF,从而得出DE=AF,AE=BF,再结合点A、D的坐标即可求出点B的坐标;

(2)设反比例函数为y=,根据平行的性质找出点B′、D′的坐标,再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、t的二元一次方程组,解方程组解得出结论;

(3)假设存在,设点P的坐标为(m,0),点Q的坐标为(n,).分B′D′为对角线或为边考虑,根据平行四边形的性质找出关于m、n的方程组,解方程组即可得出结论.

详解:(1)过点DDEx轴于点E,过点BBFx轴于点F,如图1所示.

∵四边形ABCD为正方形,

AD=AB,BAD=90°,

∵∠EAD+ADE=90°,EAD+BAF=90°,

∴∠ADE=BAF.

ADEBAF中,

∴△ADE≌△BAF(AAS),

DE=AF,AE=BF.

∵点A(-6,0),D(-7,3),

DE=3,AE=1,

∴点B的坐标为(-6+3,0+1),即(-3,1).

故答案为:(-3,1).

(2)设反比例函数为y=

由题意得:点B′坐标为(-3+t,1),点D′坐标为(-7+t,3),

∵点B′D′在该比例函数图象上,

k=(-3+t)×1=(-7+t)×3,

解得:t=9,k=6,

∴反比例函数解析式为y=

(3)假设存在,设点P的坐标为(m,0),点Q的坐标为(n,).

P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况:

B′D′为对角线时,

B′D′为边时,

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