Question

如图，等边△ABC内接于⊙O，P是劣弧

AB

上一点（不与A、B重合），将△PBC绕C点顺时针旋转60°，得△DAC，AB交PC于E．则下列结论正确的序号是

 

．
①PA+PB=PC；
②BC²=PC•CE；
③四边形ABCD有可能成为平行四边形；
④△PCD的面积有最大值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：分别根据等边三角形的判定与性质以及平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质分别判断的即可．

解答：解：①∵将△PBC绕C点顺时针旋转60°，
∴∠PCD=60°，PC=CD，AD=PB，∠CAD=∠CBP，
∵∠PBC+∠PAC=180°，∠DAC+∠PAC=180°，
∴P，A，D在一条直线上，
∴△PCD是等边三角形，
∴PC=PD=DC，
∴PB+PA=PA+AD=PD=PC，故选项①正确；

②∵∠BPC=∠BAC=∠CBA=60°，
∠PCB=∠BCE，
∴△BCE∽△PCB，
∴

BC

PC

=

EC

CB

∴BC²=PC•CE，故选项②正确；

③当四边形ABCD成为平行四边形时，
AD=BC，
∵PB=AD，
∴PB=BC，
∵BPC=∠BAC=60°，
∴△PBC是等边三角形，此时P与A点重合，
∵P是劣弧

AB

上一点（不与A、B重合），
∴四边形ABCD不可能成为平行四边形，故选项③错误；

④∵P是劣弧

AB

上一点（不与A、B重合），将△PBC绕C点顺时针旋转60°，
∴根据①得出旋转后的三角形是等边三角形，当边长越大，则三角形面积越大，
故当P为劣弧

AB

的中点时，PC最大，此时三角形面积最大，
∴△PCD的面积有最大值，故选项④正确．
故答案为：①②④．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，根据旋转的性质得出对应边与对应角之间的关系是解题关键．