Question

【题目】对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：
（1）当t=2时，抛物线E的顶点坐标是；
（2）判断点A是否在抛物线E上；
（3）求n的值．
（4）通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，这个定点的坐标是 ．
（5）二次函数y=﹣3x2+5x+2是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．
（6）以AB为一边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过点A、B、C、D中的三点，求出所有符合条件的t的值．

Answer 1

【答案】
（1）（1，﹣2）
（2）

解：将x=2代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得 y=0，

∴点A（2，0）在抛物线E上

（3）

解：将x=﹣1代入抛物线E的解析式中，得：

n=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=6

（4）A（2，0）、B（﹣1，6）
（5）

解：将x=2代入y=﹣3x2+5x+2，y=0，即点A在抛物线上．

将x=﹣1代入y=﹣3x2+5x+2，计算得：y=﹣6≠6，

即可得抛物线y=﹣3x2+5x+2不经过点B，

二次函数y=﹣3x2+5x+2不是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”

（6）

解：如图，作矩形ABC1D1和ABC2D2，过点B作BK⊥y轴于点K，过B作BM⊥x轴于点M，

易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC1∽△MBA，

则： = ，即 = ，求得 C1K= ，所以点C1（0， ）．

易知△KBC1≌△GAD1，得AG=1，GD1= ，

∴点D1（3， ）．

易知△OAD2∽△GAD1， = ，由AG=1，OA=2，GD1= ，求得 OD2=1，∴点D2（0，﹣1）．

易知△TBC2≌△OD2A，得TC2=AO=2，BT=OD2=1，所以点C2（﹣3，5）．

∵抛物线E总过定点A（2，0）、B（﹣1，6），

∴符合条件的三点可能是A、B、C或A、B、D．

当抛物线E经过A、B、C1时，将C1（0， ）代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），求得t1=﹣ ；

当抛物线E经过A、B、D1，A、B、C2，A、B、D2时，可分别求得t2= ，t3=﹣ ，t4= ．

∴满足条件的所有t的值为：﹣ ， ，﹣ ， ．

【解析】解：（1）将t=2代入抛物线E中，得：y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=2x2﹣4x=2（x﹣1）2﹣2，
∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）．
4）将抛物线E的解析式展开，得：
y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4
∴抛物线E必过定点（2，0）、（﹣1，6）．
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．