Question

如图，在?ABCD中，E，F分别是BC，AD中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当BC=2AB=4，且△ABE的面积为

3

，求证：四边形AECF是菱形．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的性质得到AB=DC，AD=CB，∠B=∠D，推出DF=BE，根据SAS即可推出答案；
（2）过A作AH⊥BC于H，根据三角形的面积求出AH，根据锐角三角函数求出∠B，得出等边三角形AEB，推出AE=BE=AB，推出AF=CF=CE=AE即可．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=CB，∠B=∠D，
∵E，F分别是BC，AD中点，
DF=

1

2

DA，BE=

1

2

CB，
∴DF=BE，
∵AB=DC，∠B=∠D，
∴△ABE≌△CDF．

（2）解法一、过A作AH⊥BC于H，
∵BC=2AB=4，且△ABE的面积为

3

，
∴BE=AB=2，

1

2

×EB×AH=

3

，
∴AH=

3

，
∴sinB=

3

2

，
∴∠B=60°，
∴AB=BE=AE，
∵E，F分别是BC，AD中点，
∴AF=CE=AE，
∵△ABE≌△CDF，
∴CF=AE，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四边形AECF是菱形．
解法二、过A作AH⊥BC于H，
∵BC=2AB=4，且△ABE的面积为

3

，
∴BE=AB=2，

1

2

×EB×AH=

3

，
∴AH=

3

，
∴由勾股定理得：BH=1，
HE=2-1=1=BH，
∵AH⊥BE，
∴AB=AE=BE，
∵E，F分别是BC，AD中点，
∴AF=CE=AE，
∵△ABE≌△CDF，
∴CF=AE，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四边形AECF是菱形

点评：本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形的面积，锐角三角函数的定义，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．