题目内容
【题目】如图，已知在矩形ABCD中，AD=10cm，AB=4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为
(s) ．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF．
（1）求正方形PCEF的面积（用含的代数式来表示，不要求化简），并求当正方形PCEF的面积为25 cm2时的值；
（2）设△DEF的面积为
(cm2)，求与之间的函数关系式，并求当为何值时？△DEF的面积取得最小值，这个最小值是多少？
（3）求当为何值时？△DEF为等腰三角形．
【答案】（1）当
=3.5s时，正方形PCEF的面积为25cm2；（2）当
s时，
取得最小值为6；（3）当
s，3 s或4 s时，△DEF为等腰三角形．
【解析】
（1）依题意可得：AP=2，PD=10-2，CD=AB=4，解Rt△PDC，PC2= (10-2)2+16，则正方形PCEF的面积为(10-2)2+16，当 (10-2)2+16=25，解方程即可得出结果；
（2）过点F作FM⊥AD于点M，过点E作EN⊥BC的延长线于点N，△PCD≌△FPM，FM=PD=10-2，PM=CD=4， △PCD≌△ECN，EN=PD=10-2，CN=CD=4， 根据图形面积关系可得S△DEF= S正方形PCEF- S△PDF- S△PDC- S△DCE，得到S关于t的函数式，即可求得.
（3）当△DEF为等腰三角形时，分四种情况进行讨论，根据直角三角形的性质计算FE和FD的长，用关于t的式子表示，计算可得t的值．
解：（1）依题意可得：AP=2，PD=10-2，CD=AB=4，
在Rt△PDC中，由勾股定理可得：
PC2= PD2+ CD2=(10-2)2+16，
∴正方形PCEF的面积为(10-2)2+16，
当正方形PCEF的面积为25时，有(10-2)2+16=25，
解得：t1=3.5，t2=6.5（不合题意，舍去）
∴当=3.5s时，正方形PCEF的面积为25cm2．
（2）过点F作FM⊥AD于点M，过点E作EN⊥BC的延长线于点N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠PDC =90°，
∴∠PDC =∠FMP =90°，且∠DPC +∠PCD =90°，
∵四边形PCEF是正方形，
∴PF=CP，∠DPC +∠FPM =90°，
∴∠PCD=∠FPM，
∴△PCD≌△FPM（AAS），
∴FM=PD=10-2，PM=CD=4，
同理可得：△PCD≌△ECN，
∴EN=PD=10-2，CN=CD=4，
∵S△DEF= S正方形PCEF- S△PDF- S△PDC- S△DCE，
∴
，
∵
，
∴当s时，取得最小值为6．
（3）过点D作DG⊥EN于点G，则四边形DCNG是正方形，
∴GN=DG=DC=4，
∴EG=EN-GN=10-2-4=6-2，
在Rt△DGE中，DE2= DG2+ EG2=16+(6-2)2，
在Rt△FMD中，DM=PD-PM=10-2-4=6-2，
∴FD2= FM2+DM2=(10-2)2+(6-2)2，
在Rt△PCD中，PC2= PD2+CD2= (10-2)2+16，
∴EF2= (10-2)2+16=(10-2)2+(6-2)2，
解得：t1=1，t2=5（不合题意，舍去），
若FE=DE，则有(10-2)2+16=16+(6-2)2，
解得：t =4，
若FD=DE，则有(10-2)2+(6-2)2=16+(6-2)2，
解得：t1=3，t2=7（不合题意，舍去），
综上所述，当s，3 s或4 s时，△DEF为等腰三角形．
