Question

如图在平面直角坐标系中，三角形AOB的边OB与x轴重合，点A在第一象限内，且AO=AB=5，OB=6．
（1）求点B的坐标；
（2）求出直线AB的解析式；
（3）直线AB与y轴交于点C．试问是否存在这样的一条抛物线能经过A、B、C、O中的任意三点？若不存在，说明理由；若存在，求出这条抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）B点坐标为（6，0）；
（2）过A作AE⊥x轴与E，根据等腰三角形的性质得OE=3，再利用勾股数得到AE=4，即有A点坐标为（3，4），然后利用待定系数法求直线AB的解析式；
（3）经过A、B、C、三点可确定一条抛物线．利用交点式求其解析式，设抛物线的解析式为y=ax（x-6），然后把A（3，4）代入得4=a•3•（-3），解得a即可．

解答：解：（1）B点坐标为（6，0）；

（2）过A作AE⊥x轴与E，如图，
∵AO=AB=5，OB=6．
∴OE=3，
∴AE=4，
∴A点坐标为（3，4），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（3，4），B（6，0）代入得，3k+b=4，6k+b=0，解得k=-

4

3

，b=8，
∴直线AB的解析式为y=-

4

3

x+8；

（3）存在这样的一条抛物线能经过A、B、O三点．
设抛物线的解析式为y=ax（x-6），
把A（3，4）代入得4=a•3•（-3），解得a=-

4

9

，
所以这条抛物线的解析式为y=-

4

9

x（x-6）=-

4

9

x²+

8

3

x．

点评：本题考查了抛物线与直线的关系：一条抛物线与一条直线最多有两个交点，一条与y轴平行的直线与抛物线最多也只有一个交点．也考查了待定系数法求函数的解析式以及等腰三角形的性质．