题目内容

23、如图1,矩形ABCD中,BC=2AB,M为AD的中点,连接BM.
(1)请你判断并写出∠BMD是∠ABM的几倍;
(2)如图2,在?ABCD中,BC=2AB,M为AD的中点,CE⊥AB,连接EM、CM,请问:∠AEM与∠DME是否也具有(1)中的倍数关系?若有,请证明;若没有,请说明理由.
分析:(1)根据AM=AB可得出∠AMB=∠ABM=45°,从而可判断出∠BMD是∠ABM的几倍.
(2)延长EM、CD交于点F,先证△AEM≌△DFM,从而根据全等三角形的性质可证得AB∥CD,继而结合题意可证得结论.
解答:解:(1)∵AM=AB,
∴∠AMB=∠ABM=45°,
∴∠BMD=135°.
∴∠BMD=3∠ABM.
(2)证明:延长EM、CD交于点F.
∵AB∥CF
∴∠AEM=∠DFM.
又∵AM=DM,∠AME=∠FMD,
∴△AEM≌△DFM.
∴∠AEM=∠F,EM=FM.
∵四边形ABCD中平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠BEC=∠ECD.
∵CE⊥AB,
∴∠BEC=90°.
∴∠ECD=90°.
∴MC=MF.
∴∠MCF=∠F,
∴∠EMC=2∠F=2∠AEM.
又∵DM=CD,
∴∠DMC=∠MCF=∠F=∠AEM.
∴∠EMD=3∠AEM.
点评:本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定,难度一般,解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质及三角形全等的判定定理.
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