Question

【题目】如图，已知和均为等腰三角形，，，将这两个三角形放置在一起．

（1）问题发现

如图①，当时，点、、在同一直线上，连接，则的度数为__________，线段、、之间的数量关系是__________；

（2）拓展探究

如图②，当时，点、、在同一直线上，连接．请判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由；

（3）解决问题

如图③，，，，连接、，在绕点旋转的过程中，当时，请直接写出的长

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

（1）证明△ACE≌△ABD，得出CE=AD，∠AEC=∠ADB，即可得出结论；（2）证明△ACE∽△ABD，得出∠AEC=∠ADB，，即可得出结论；（3）先判断出，再求出，①当点E在点D上方时，先判断出四边形APDE是矩形，求出AP=DP=AE=2，再根据勾股定理求出，BP=6，得出BD=4；②当点E在点D下方时，同①的方法得，AP=DP=AE=1，BP=4，进而得出BD=BP+DP=8，即可得出结论．

（1）在△ABC为等腰三角形，AC=BC，∠ACB=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC=AB，∠CAB=60°，

同理：AE=AD，∠ADE=∠EAD=60°，

∴∠EAD=∠CAB，

∴∠EAC=∠DAB，

∴△ACE≌△ABD（SAS），

∴CE=AD，∠AEC=∠ADB，

∵点B、D、E在同一直线上，

∴∠ADB=180°-∠ADE=120°，

∴∠AEC=120°，

∴

∵DE=AE，

∴BE=DE+BD=AE+CE，

故答案为60°，BE=AE+CE；

（2）．

理由如下：和均为等腰三角形， ，

，

，

，

，

点、、在同一直线上，

，

．

；

（3）由（2）知，△ACE∽△ABD，

∴，

在Rt△ABC中，，

∴；

①当点E在点D上方时，如图③，过点A作AP⊥BD交BD的延长线于P，

∵DE⊥BD，

∴∠PDE=∠AED=∠APD，

∴四边形APDE是矩形，

∵AE=DE，

∴矩形APDE是正方形，

∴AP=DP=AE=2，

在Rt△APB中，根据勾股定理得，

∴BD=BP-AP=4，

∴；

②当点E在点D下方时，如图④，

同①的方法得，AP=DP=AE=2，BP=4，

∴BD=BP+DP=8，

∴，

即：CE的长为或．