题目内容
【题目】△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B，C重合)，△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，交射线AC于点G，连接BE．
（1）如图1所示，当点D在线段BC上时，求证：四边形BCGE是平行四边形；
（2）如图2所示，当点D在BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？并请说明理由；
（3）当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）结论仍成立，理由见解析；（3）当点D在BC的延长线上，CD=BC时，四边形BCGE是菱形，理由见解析．
【解析】
（1）利用SAS定理证明△AEB≌△ADC，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠ACB=60°，得到BE∥CG，根据平行四边形的判定定理证明结论；
（2）仿照（1）的证明方法解答；
（3）分点D在BC上、点D在BC的延长线上两种情况，根据菱形的判定定理解答．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，∠EAD=60°，
∴∠EAB=∠DAC，
在△AEB与△ADC中，
∵
，
∴△AEB≌△ADC(SAS)，
∴∠ABE=∠ACB=60°，∠EBC+∠ACB=∠ABE+∠ABC+∠ACB=180°，
∴BE∥CG，
∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形；
（2）解：（1）中的结论仍成立，
理由如下：由（1）可知，△ABE≌△ACD，
∴∠BEA=∠CDA．
∵EG∥BC，
∴∠G=∠ACB=60°，∠GED=∠BDE，∴∠BEG+∠G=∠BEA+∠AED+∠GED+∠G=∠AED+(∠CDA+∠BDE)+∠G=180°，∴BE∥CG，
又∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形；
（3）解：当点D在BC上时，由（2）可知，△ABE≌△ACD，
∴BE=CD．
∵BE=CD＜BC，∴四边形BCGE不是菱形，
当点D在BC的延长线上，CD=BC时，四边形BCGE是菱形，
由（2）可知，△ABE≌△ACD，四边形BCGE是平行四边形，
∴BE=CD=BC时，四边形BCGE是菱形．
