题目内容
如图，⊙O1和⊙O2内切于点A，⊙O2的弦BC切⊙O1于D．AD的延长线交⊙O2于M，连接AB、AC分别交⊙
O1于E、F，连接EF．
（1）求证：EF∥BC；
（2）求证：AB•AC=AD•AM；
（3）若⊙O1的半径r1=3，⊙O2的半径r2=8，BC是⊙O2的直径，求AB和AC的长（AB＞AC）．
O1于E、F，连接EF．（1）求证：EF∥BC；
（2）求证：AB•AC=AD•AM；
（3）若⊙O1的半径r1=3，⊙O2的半径r2=8，BC是⊙O2的直径，求AB和AC的长（AB＞AC）．
（1）证明：如图，过A作⊙O1、⊙O2的公切线AT
∵∠TAB=∠AFE=∠ACB，∴EF∥BC，
（2）证明：连接CM，
∵∠ABD=∠AMC，∠TAM=∠ADB，∠TAM=∠ACM，
∴∠ADB=∠ACM，
∴△ADB∽△ACM，
∴
=
即AB•AC=AD•AM．
（3）连接O1D，∴O1D⊥BC，连接O2O1并延长，必过A点，
在Rt△O1O2D中，可求得O2D=4，
∴BD=12，CD=4．
∵O1E∥O2B，∴
=
=
∴BE=
AB
∵BD2=AB•BE，∴122=AB•
AB
∴AB=
，AC=
．
∵∠TAB=∠AFE=∠ACB，∴EF∥BC，
（2）证明：连接CM，
∵∠ABD=∠AMC，∠TAM=∠ADB，∠TAM=∠ACM，
∴∠ADB=∠ACM，
∴△ADB∽△ACM，
∴
| AD |
| AC |
| AB |
| AM |
即AB•AC=AD•AM．
（3）连接O1D，∴O1D⊥BC，连接O2O1并延长，必过A点，
在Rt△O1O2D中，可求得O2D=4，
∴BD=12，CD=4．
∵O1E∥O2B，∴
| AE |
| AB |
| r1 |
| r2 |
| 3 |
| 8 |
∴BE=
| 5 |
| 8 |
∵BD2=AB•BE，∴122=AB•
| 5 |
| 8 |
∴AB=
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| 5 |
8
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| 5 |
练习册系列答案
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点D，且∠D=∠BAC．
O的切线交AD的延长线于点F．
