题目内容
如图,AB为⊙O的直径,AD平分∠BAC交⊙O于点D,DE⊥AC交AC的延长线于点E,FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.
(1)用尺规作图找到点E的位置(不写作法,保留作图痕迹)
(2)求证:DE是⊙O的切线;
(3)若DE=
,⊙O的半径为2,求阴影部分的面积.
(1)用尺规作图找到点E的位置(不写作法,保留作图痕迹)
(2)求证:DE是⊙O的切线;
(3)若DE=
3 |
(1)如图所示:
(2)证明:连OD,如图,
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
又∵OD=OA,得∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴AE∥0D
∵DE⊥AC,
∴∠AED=90°
∴∠ODE=90°
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(3)过D作DP⊥AB,P为垂足,过O作OH⊥AD,H为垂足,
∵AD为∠BAC的平分线,DE=
,
∴DP=DE=3,又⊙O的半径为,
在Rt△OPD中,OD=2,DP=
,得OP=1,则AP=3,
∵BF⊥AB,
∴DP∥FB,
∴
=
,
∴BF=
,
∴tan∠FAB=
=
,
∴∠FAB=30°,
∴∠AOD=120°,∠DOB=60°,
∴S△AOD=
=
=
,
∴S扇形DOB=
=
,
∴S阴影=
AB•BF-S△AOD-S扇形DOB=
×4×
-
-
=
-
-
,
=
-
.
(2)证明:连OD,如图,
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
又∵OD=OA,得∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴AE∥0D
∵DE⊥AC,
∴∠AED=90°
∴∠ODE=90°
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(3)过D作DP⊥AB,P为垂足,过O作OH⊥AD,H为垂足,
∵AD为∠BAC的平分线,DE=
3 |
∴DP=DE=3,又⊙O的半径为,
在Rt△OPD中,OD=2,DP=
3 |
∵BF⊥AB,
∴DP∥FB,
∴
DP |
FB |
AP |
AB |
∴BF=
4
| ||
3 |
∴tan∠FAB=
| ||||
4 |
| ||
3 |
∴∠FAB=30°,
∴∠AOD=120°,∠DOB=60°,
∴S△AOD=
AD•OH |
2 |
2
| ||
2 |
3 |
∴S扇形DOB=
60π×22 |
360 |
2π |
3 |
∴S阴影=
1 |
2 |
1 |
2 |
4
| ||
3 |
3 |
2π |
3 |
8
| ||
3 |
3 |
2π |
3 |
=
5
| ||
3 |
2π |
3 |
练习册系列答案
相关题目