题目内容
如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．
（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）若OB=5，OP=
，求AC的长．
（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）若OB=5，OP=
| 25 |
| 3 |
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°．
又∵OP∥BC，
∴∠AOP=∠B，
∴∠BAC+∠AOP=90°．
∵∠P=∠BAC．
∴∠P+∠AOP=90°，
∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．
又∵OA是的⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线；
（2）由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，
∴OA=OB=5．
又∵OP=
，
∴在直角△APO中，根据勾股定理知PA=
=
，
由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°．
∵∠BAC=∠P，
∴△ABC∽△POA，
∴
=
．
∴
=
，
解得AC=8．即AC的长度为8．
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°．
又∵OP∥BC，
∴∠AOP=∠B，
∴∠BAC+∠AOP=90°．
∵∠P=∠BAC．
∴∠P+∠AOP=90°，
∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．
又∵OA是的⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线；
（2）由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，
∴OA=OB=5．
又∵OP=
| 25 |
| 3 |
∴在直角△APO中，根据勾股定理知PA=
| PO2-OA2 |
| 20 |
| 3 |
由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°．
∵∠BAC=∠P，
∴△ABC∽△POA，
∴
| AB |
| PO |
| AC |
| PA |
∴
| 10 | ||
|
| AC | ||
|
解得AC=8．即AC的长度为8．
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O1于E、F，连接EF．
