题目内容
已知抛物线的顶点坐标为(
,-
),且经过点C(1,0),若此抛物线与x轴的另一交点为点B,与y轴的交点为点A,设P、Q分别为AB、OB边上的动点,它们同时分别从点A、O向B点匀速运动,速度均为每秒1个单位,设P、Q移动时间为t(0≤t≤4)
(1)求此抛物线的解析式并求出P点的坐标(用t表示);
(2)当△OPQ面积最大时求△OBP的面积;
(3)当t为何值时,△OPQ为直角三角形?
(4)△OPQ是否可能为等边三角形?若可能请求出t的值;若不可能请说明理由,并改变点Q的运动速度,使△OPQ为等边三角形,求出此时Q点运动的速度和此时t的值.
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2 |
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(1)求此抛物线的解析式并求出P点的坐标(用t表示);
(2)当△OPQ面积最大时求△OBP的面积;
(3)当t为何值时,△OPQ为直角三角形?
(4)△OPQ是否可能为等边三角形?若可能请求出t的值;若不可能请说明理由,并改变点Q的运动速度,使△OPQ为等边三角形,求出此时Q点运动的速度和此时t的值.
(1)设抛物线的解析式为:y=a(x-
)2-
,代入点(1,0),得:a=
;
∴y=
(x-
)2-
.
令y=0得:x1=4,x2=1,∴B(4,0).
令x=0得:y=3,∴A(0,3),AB=5.
如右图,过点P作PM⊥y轴,垂足为点M,则:
=
=
,得:
=
=
∴AM=
t,PM=
t
∴P(
t,3-
t).
(2)如图,过点P作PN⊥x轴,垂足为点N,
S△OPQ=
OQ•PN=
t•(3-
t)=
t-
t2=-
(t-
)2+
∴当t=
时,S△OPQ最大=
.
此时OP为AB边上的中线
∴S△OBP=
S△AOB=
×
×3×4=3.
(3)若∠OQP=90°,则
=
,
∴
=
,得t=0(舍去).
若∠OPQ=90°,则OP2+PQ2=OQ2,
∴(3-
t)2+(
t)2+(3-
t)2+(
t)2=t2
解得:t1=3,t2=15(舍去).
当t=3时,△OPQ为直角三角形.
(4)∵OP2=(3-
t)2+(
t)2,PQ2=(3-
t)2+(
t)2;
∴OP≠PQ,
∴△OPQ不可能是等边三角形.
设Q点的速度为每秒k个单位时,△OPQ为等边三角形
∴kt=2•
t,得 k=
∵PN=
OP=
•
t=
t
∴3-
t=
t,得t=
.
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2 |
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16 |
3 |
4 |
∴y=
3 |
4 |
5 |
2 |
27 |
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令y=0得:x1=4,x2=1,∴B(4,0).
令x=0得:y=3,∴A(0,3),AB=5.
如右图,过点P作PM⊥y轴,垂足为点M,则:
AM |
AO |
PM |
OB |
AP |
AB |
AM |
3 |
PM |
4 |
t |
5 |
∴AM=
3 |
5 |
4 |
5 |
∴P(
4 |
5 |
3 |
5 |
(2)如图,过点P作PN⊥x轴,垂足为点N,
S△OPQ=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
5 |
3 |
2 |
3 |
10 |
3 |
10 |
5 |
2 |
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8 |
∴当t=
5 |
2 |
15 |
8 |
此时OP为AB边上的中线
∴S△OBP=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
(3)若∠OQP=90°,则
BP |
AB |
BQ |
BO |
∴
5-t |
5 |
4-t |
4 |
若∠OPQ=90°,则OP2+PQ2=OQ2,
∴(3-
3 |
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4 |
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3 |
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1 |
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解得:t1=3,t2=15(舍去).
当t=3时,△OPQ为直角三角形.
(4)∵OP2=(3-
3 |
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3 |
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1 |
5 |
∴OP≠PQ,
∴△OPQ不可能是等边三角形.
设Q点的速度为每秒k个单位时,△OPQ为等边三角形
∴kt=2•
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∵PN=
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∴3-
3 |
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